Vielleicht ein Anfang:
Aufgabe: Sei K ein Körper mit q Elementen und n in den natürlichen Zahlen. Bestimmen sie die Anzahl aller Basen im Vektorraum K^{n}.
n sei nicht 0. (Fall n=0 allenfalls noch separat anschauen. )
Eine Basis von K^n besteht aus n linear unabhängigen Vektoren.
Da K q Elemente hat, hat K^n q^n Elemente. (Die Komponenten sind jeweils irgendeines der q Elemente von K).
Der erste Vektor der Basis ist nicht der Nullvektor. D.h. es gibt q^n - 1 Kandidaten für den ersten Basisvektor. Ich wähle einen davon.
Der zweite Basisvektor darf nicht der Nullvektor sein und auch nicht in die Richtung des ersten Basisvektors schauen. D.h. es sind alle Vielfachen des ersten Basisvektors ausgeschlossen. Da K q Elemente enthält, sind q Vektoren ausgeschlossen. Für den zweiten Basisvektor stehen somit q^n - q Vektoren zur Verfügung.
Die ersten beiden Basisvektoren können auf: (q^n -1) (q^n - q) Arten gewählt werden.
Nun zum dritten Basisvektor. Er darf nicht in der von den ersten beiden Vektoren aufgespannten Ebene liegen. D.h. q^2 Vektoren sind ausgeschlossen.
Die ersten drei Basisvektoren können auf (q^n - 1)(q^n - q)(q^n - q^2) Arten gewählt werden.
usw.
n Basisvektoren können auf (q^n - 1)(q^n - q)(q^n - q^2) .... (q^n - q^{n-1}) Arten gewählt werden. Hier kann man ziemlich viel ausklammern.
Zum Schluss noch die Anzahl der Basen durch n! teilen, falls du Basen mit unterschiedlichen Vektorreihenfolgen als gleiche Basen bezeichnen möchtest. (Wenn nicht, kannst du den letzten Schritt weglassen.
Kontrolliere das mal. Vielleicht geht es anders oder zumindest einfacher.
