Was ist die kumulierte Binomialverteilung?

Question

was genau versteht man unter kumulierter Wahrscheinlichkeit? Gerne mit Beispiel

Answer 1

kumlieren kommt von akkumulieren, was man sich durch das Englisch "accumulate" ableiten kann. Das heißt sowas wie "sich ansammeln". Genau das ist es nämlich. Eine Ansammlung verschiedener Wahrscheinlichkeiten. Hier ein Beispiel:

Eine LaPlace-Münze wird 20 Mal geworfen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 12 mal Kopf erscheint.

Du musst also eigentlich alle Wahrscheinlichkeiten zusammenaddieren, bei denen 12 oder mehr als Mal "Kopf" erscheint. Das ergibt dann:$$P(X>12)=\sum_{k=12}^{20}{\begin{pmatrix} 20 \\ k \end{pmatrix}}\cdot 0.5^k\cdot (1-0.5)^{20-k}$$

Eine LaPlace-Münze wird 20 Mal geworfen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 6 mal Kopf erscheint

$$P(X<6)=\sum_{k=1}^{6}{\begin{pmatrix} 20 \\ k \end{pmatrix}}\cdot 0.5^k\cdot(1-0.5)^{20-k}$$

Eine LaPlace-Münze wird 20 Mal geworfen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 6 mal, aber höchstens 12 Mal Kopf erscheint

$$P(12<X<6)=\sum_{k=6}^{12}{\begin{pmatrix} 20 \\ k \end{pmatrix}}\cdot 0.5^k\cdot(1-0.5)^{20-k}$$

Comments

Hallo Sonnenschein,

Danke für den Stern, versuch mal diese Aufgabe:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 24%. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 6 Würfen mindestens 3 trifft?

Tipp:

Mindestens heißt 3 oder mehr :)

Selbstkontrolle:

[spoiler]

P(X>3)≈0.153935

Lass es mich wissen, falls du Probleme hattest!

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Habe alles richtig! :)

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Glückwunsch!

Answer 2

Das ist die summierte Binomialverteilung, wo es darum geht Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu berechnen, die alle eine Gemeinsamkeit haben, und daher zu einem neuen Ereignis zusammengefasst werden.

Beispiel. In einer Fabrik werden stichprobenartig 1.000 Glühbirnen getestet, wobei der Ausschussanteil bei 0.5% liegt. Es werden von ihnen zufällig 5 entnommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei kaputt sind?

Ok zu höchstens zwei können folgende Ereignisse erfüllt sein: Keine oder Eine oder Zwei. Zusammengefasst ergibt das eben ,,höchstens zwei''. In Rechnung sieht das so aus.

$$ P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) $$

Dabei steht die Zufallsvariable X für die Anzahl an defekten Birnen.

Also ist:

$$ P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\[20pt]= \begin{pmatrix} 1000\\0 \end{pmatrix}\cdot0,05^0\cdot0,95^{1000}+ \begin{pmatrix} 1000\\1 \end{pmatrix}\cdot0,05^1\cdot0,95^{999}+ \begin{pmatrix} 1000\\2 \end{pmatrix}\cdot0,05^2\cdot0,95^{998}\\ \approx 7,60\cdot 10^{-20} $$ Also verdammt gering!

Comments

Super, vielen Dank !