Klein o-Notation beweisen

Question

Wie kann ich beweisen, dass aⁿ in o(n!) ist (für alle a aus R+)?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeige das aⁿ ∈ o(n!) für alle a ∈ R+ ist?

Stichworte: diskrete,notation

wie zeige ich das aⁿ ∈ o(n!) für alle a ∈ R⁺ ?

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Nach Definition der o-Notation, ist dafür zu zeigen, dass $\lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a^n}{n!}\right\rvert=0$ für jedes $a\in\mathbb{R}^+$ ist.

Sei $N\in \mathbb{N}$ mit $N > a$. Dann ist für $n\in \mathbb{N}$ mit $n>N$ $\left\lvert\frac{a^n}{n!}\right\rvert = \frac{a^n}{n!} = \frac{\prod_{k=1}^{n}a}{\prod_{k=1}^{n}k} = \prod_{k=1}^{n}\frac{a}{k} = \prod_{k=1}^{N}\frac{a}{k} \cdot \prod_{k=N+1}^{n}\frac{a}{k}\leq \prod_{k=1}^{N}\frac{a}{k} \cdot \prod_{k=N+1}^{n}\frac{a}{N} = \prod_{k=1}^{N}\frac{a}{k} \cdot \left(\frac{a}{N}\right)^{n-(N+1)}= \underbrace{\prod_{k=1}^{N}\frac{a}{k} \cdot \left(\frac{a}{N}\right)^{-(N+1)}}_{\text{konstant bzgl. }n}\cdot\underbrace{\left(\frac{a}{N}\right)^{n}}_{\to 0\text{ für }n\to \infty,\\\text{wegen } a<N}\xrightarrow{n\to\infty}0\text{.}$

Alternativ:

Nach Quotientenkriterium konvergiert die Reihe $\exp(a) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}$ für jedes $a\in \mathbb{R}^+$. Mit Trivialkriterium folgt daraus $\lim_{n\to\infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0$ für jedes $a\in \mathbb{R}^+$.