Klein o-Notation beweisen

Question

Wie kann ich beweisen, dass aⁿ in o(n!) ist (für alle a aus R+)?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeige das aⁿ ∈ o(n!) für alle a ∈ R+ ist?

Stichworte: diskrete,notation

wie zeige ich das aⁿ ∈ o(n!) für alle a ∈ R⁺ ?

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Nach Definition der o-Notation, ist dafür zu zeigen, dass \[\lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a^n}{n!}\right\rvert=0\] für jedes \(a\in\mathbb{R}^+\) ist.

Sei \(N\in \mathbb{N}\) mit \(N > a\). Dann ist für \(n\in \mathbb{N}\) mit \(n>N\) \[\left\lvert\frac{a^n}{n!}\right\rvert = \frac{a^n}{n!} = \frac{\prod_{k=1}^{n}a}{\prod_{k=1}^{n}k} = \prod_{k=1}^{n}\frac{a}{k} = \prod_{k=1}^{N}\frac{a}{k} \cdot \prod_{k=N+1}^{n}\frac{a}{k}\leq \prod_{k=1}^{N}\frac{a}{k} \cdot \prod_{k=N+1}^{n}\frac{a}{N} = \prod_{k=1}^{N}\frac{a}{k} \cdot \left(\frac{a}{N}\right)^{n-(N+1)}= \underbrace{\prod_{k=1}^{N}\frac{a}{k} \cdot \left(\frac{a}{N}\right)^{-(N+1)}}_{\text{konstant bzgl. }n}\cdot\underbrace{\left(\frac{a}{N}\right)^{n}}_{\to 0\text{ für }n\to \infty,\\\text{wegen } a<N}\xrightarrow{n\to\infty}0\text{.}\]

Alternativ:

Nach Quotientenkriterium konvergiert die Reihe \[\exp(a) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}\] für jedes \(a\in \mathbb{R}^+\). Mit Trivialkriterium folgt daraus \[\lim_{n\to\infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0\] für jedes \(a\in \mathbb{R}^+\).