gebrochen-rationale Funktionen: Konstruktion

Question

Ich habe leider Probleme bei folgender Aufgabe:

konstruieren Sie eine gebrochen-rationale Funktion der Gestalt f(x)=A⋅x2+B⋅x+C/x2+D⋅x+E mit den folgenden Eigenschaften:

1) limx→∞f(x)=0
2) f besitzt an der Stelle x=5 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

3) Die Punkte (0; 1 ) und (-5 ; 9 ) liegen auf dem Graph der Funktion f.

Answer 1

Ich habe hier (in einem Spoiler) gerade so eine Frage vorgerechnet.

https://www.mathelounge.de/551859/konstruieren-sie-eine-gebrochen-rationale-funktion-gestalt

Zeige mal deine Rechnung.

Du hast vermutlich Klammern vergessen und meinst

f(x)=(A⋅x^2+B⋅x+C)/(x^2+D⋅x+E) mit den folgenden Eigenschaften:

1) lim_x→∞f(x)=0

Hier folgt schon mal A = 0. 

2) f besitzt an der Stelle x=5 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Der Nenner ist (x-5)^2 = x^2 - 10x + 25 

Somit D = -10 und E = 25 

3) Die Punkte (0; 1 ) und (-5 ; 9 ) liegen auf dem Graph der Funktion f.

f(x)=(B⋅x+C)/(x^2 -10⋅x+25)

f(x0)=(B⋅0+C)/(0^2- 10⋅0+25) = 1 ==> C = 25

f(x)=(B⋅x+25 )/(x^2 -10⋅x+25)

Nun noch (-5|9) einsetzen und B ausrechnen.