Kern und Bild von einer linearen Abbildung von V--> V. Vektorräume. Zeige: z.B. Kern(φ)∩ Bild(φ) = {0}

Question

hallo bräuchte mal eure Hilfe,

Aufgabe: es sei V ein Vektorraum über K mit dimV= n und φ: V→V linear. Zeige, dass aus φ² = φ sowohl V= Kern(φ) + Bild(φ) als auch Kern(φ)∩ Bild(φ) = {0} folgt.

!!

Answer 1

Sei v aus V. Dann ist  v  - φ(v) aus Kern(φ), weil
φ ( v - φ(v)  ) =  φ (v) - φ ( φ (v) )  wegen Linearität
                     =  φ ( v ) - φ ( v ) wegen Vor.
                     =  0
Außerdem ist  v = φ(v) +  v  - φ(v)  Und damit  ist jedes v aus V als Summe eines
Elementes von Bild(φ) und eines Elementes von Kern(  φ) darstellbar.

Sei nun w aus Bild(φ) und w aus Kern(φ).

Dann gibt es ein v aus V mit φ(v)=w und φ(w)=0

Einsetzen der ersten Gleichung in die 2. gibt

0 = φ (w) = φ ( φ (v)) = φ (v) [laut Vor.] =  w

Also w = 0. D.h.    Wenn es in Kern(φ)∩ Bild(φ) ein Element

gibt, dann ist es gleich 0

Andererseits ist aber 0 immer sowohl in Kern(φ) als auch in Bild(φ)

q.e.d.

Comments

danke ich habe jetzt verstanden, aber eins zwei fragen habe ich noch... und zwar wieso hast du -φ(v) geschrieben? und ich muss ja zeigen das aus φ² = φ folgt V= Kern (φ) + Bild(φ) ist des dein erstes Teil was du geschrieben hast, weil danach hast du ja über des zweite geschrieben?

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nein, das φ² = φ ist einfach nur eine Voraussetzung. Du musst nicht zeigen, dass daraus die zwei Sachen folgen. Es steht da, einfach damit wir φ ( φ (v) ) = φ (v) benutzen koennen :) 

Vielen vielen Dank, mathef!!!