Funktionenschar: Parameter für konvexe Funktion

Question

Sei $\alpha > 0$ und $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ eine Funktion mit $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1 + x^{\alpha}}$ für $x \in [0, \infty)$.

Frage: Für welche reellen Zahlen $\alpha > 0$ ist $f$ konvex auf dem Intervall $[0, \infty)$?

Ich präsentiere kurz meine Überlegungen. Zunächst die Definition von Konvexität: $f$ ist konvex auf $[0, \infty)$, wenn für alle $x, y \in [0, \infty)$ und alle $\lambda \in [0; 1]$ gilt: $f(\lambda x + (1 - \lambda) y) \le \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y)$.

Ich habe mit GeoGebra etwas herumprobiert und vermute, dass $f$ nur für $\alpha = 1$ konvex ist und ansonsten eine Wendestelle in der Nähe (!) von $x = 1$ hat. Zum Beispiel hat $f$ für $\alpha = 7$ eine Wendestelle bei $x = \sqrt[7]{\frac{3}{4}}$. Aus der Definition erhalte ich folgende Ungleichung, die es dann für $\alpha \neq 1$ zu widerlegen gilt:

$$\frac{1}{1 + (\lambda x + (1 - \lambda) y )^\alpha} \le \frac{\lambda}{1 + x^\alpha} + \frac{1 - \lambda}{1 + y^\alpha}$$

Hier bin ich mit meinem Latein am Ende.

Ich freue mich über gute Ideen.

Answer 1

Hallo

die  differenzierbare Funktion ist konvex, wenn f''(x)>0, d.h. f'(x) immer steigend.

Gruß lul