wie man integriert kann man leider nicht ganz pauschal beantworten, da es sehr viele verschiedene Arten von Funktionen gibt. Bei einigen sind auch mehrere Wege möglich, die aber nicht immer die besten sein müssen. Je mehr Aufgaben man macht, desto mehr Erfahrung bekommt man, wie man herangehen kann, um die Stammfunktion zu erhaltan. Bei Brüchen hilft oftmals zu schauen, ob man zunächst was ausklammern kann, um dann mit den zwei entstandenen Faktoren eine partielle Integration durchzuführen. Am Anfang sieht man nicht gleich sofort immer, was einem zum Ziel führt. Aber wichtig ist, schonmal einen Werkzeugkasten parart zu haben, so dass man zum Beispiel das kennen sollte:
$$ \int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\\\int e^xdx=e^xdx\\\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)\\\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)$$
um hier schonmal einige zu nennen.
Dann gibt es aber auch viele Funktion, bei denen keine Stammfunktion gefunden werden kann, und man sich nur näherungsweise heranarbeiten kann, zum Beispiel durch numerische Verfahren. Für zum Beispiel diese zwei Funktionen
$$ f(x)=e^{-x^2}\\g(x)=\frac{\ln(x)}{\sin(x)}$$
kann keine Stammfunktiongefunden werden.
