Behauptung: (x+1)^2 - x^2 = x + (x+1)? aufeinanderfolgende natürliche Zahlen.

Question

Hi.Leute!!!Oben rechts steht 1^2 .  Groß in der Mitte steht x^2.

 

So.... ich  muss laut aufgabenstellung das machen :

Subtrahiere die Quadrate aufeinander folgender natürlicher Zahlen .Du erhältst dasselbe Ergebnis, wenn du die beiden Zahlen addierst.

a) Überprüfe diese Aussage

b) erkläre die geometrische darstellung

c) zeige, dass die behauptung allgemein für x und x+1 gilt

Danke.im.Voraus

Answer 1

a) Mit den Zahlen 5 und 6:  6² - 5² = 36 - 25 = 11 und 6 + 5 = 11 (Behauptung scheint zu stimmen)

b) Flächeninhalt der gesamten Figur = (x + 1)*(x + 1) = (x + 1)² , x > 0

Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge x = x*x = x²

Wenn man die Fläche des kleineren Quadrates vom größeren Quadrat abzieht, erhält man: (x + 1)² - x² = x² + 2x + 1 -x² = 2x + 1

Geometrisch bleiben hierbei zwei Rechtecke übrig, deren Flächeninhalte A1 = x*1 und A2 = 1*(x +1) sind. Wenn man diese Flächen addiert, ergibt sich x + x + 1 = 2x + 1

Mit anderen Worten, ist entspricht die Differenzfläche des größen Quadrates vom kleinen Quadrat ist gleich der Fläche der beiden Rechtecke.

c) Ich hoffe, man muss hier nicht den Beweis der vollständigen Induktion bemühen. Ich würde es allgemein so zeigen:

1. Subtrahiere die Quadrate aufeinander folgender natürlicher Zahlen: (n² + 1) - n² = n² + 2n + 1 - n² = 2n -1

2. Addiere diese Zahlen: (n +1) + n = 2n +1

Da die sich so ergebenen Terme gleich sind, ist die Behauptung wahr.

Comments

" Subtrahiere die Quadrate aufeinander folgender natürlicher Zahlen: (n2 + 1) - n2 = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n -1"

muss hier 2n+1 heißen

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Außerdem soll es wohl nicht  (n² + 1)  heißen, sondern  (n + 1)².

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ja stimmt, bitte um Nachsicht .-)