Beweis: Aus a<b folgt a+c<b+c und a*c<b*c bzw. a*c>b*c (c>0 bzw. c<0)

Question

ich knabbere gerade an folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Ordnungsrelation "<" auf der Menge der ganzen Zahlen ℤ die beiden folgenden Regeln erfüllt:

a) Für alle a, b, c ∈ ℤ gilt mit a < b auch a + c < b + c.
b) Für alle a, b, c ∈ ℤ gilt mit a < b die Ungleichung a * c < b * c, falls c > 0 bzw. a * c > b * c, falls c < 0.

Hinweis: Beweisen Sie zuerst, dass für zwei Zahlen a, b ∈ ℤ die Relation a < b äquivalent zur Relation b - a > 0 ist.

Ich weiß nicht wie ich hier rangehen soll. Ich weiß auch nicht wie ich die Äquivalenz im Hinweis beweisen soll bzw. wie diese mir dann für a) und b) hilft.

Ich würde mich wirklich sehr über Hilfe freuen.

Vielen Dank und viele Grüße!

Comments

Dazu braucht man wohl erst mal eure Definition von   a < b.

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Für a, b ∈ ℕ haben wir definiert:
a < b, wenn a irgendein Vorgänger von b ist.

Für a, b ∈ ℤ haben wir die Definition folgend erweitert:
Die negativen ganzen Zahlen sind immer echt kleiner als die natürlichen Zahlen und für zwei negative ganze Zahlen −a,−b (a, b ∈ ℕ; a, b ≠ 0) gilt:
−a < −b ⇐⇒ a > b bzw. −a ≤ −b ⇐⇒ a ≥ b

Answer 1

Dann kannst du das

, dass für zwei Zahlen a, b ∈ ℤ die Relation a < b äquivalent zur Relation b - a > 0 ist.

vielleicht so beweisen:

a < b

<=>  a ist irgendein Vorgänger von b

==>   a-1 ist irgendein Vorgänger von b-1

==>   a-2 ist irgendein Vorgänger von b-2 

           etc.

==>   a-b ist irgendein Vorgänger von b-b =0

         also a-b > 0

<=>   b-a > 0.

Und : Für alle a, b, c ∈ ℤ gilt mit a < b auch a + c < b + c.

bekommst du wohl so hin

a < b <=>  b-a > 0   <=>   b-c + c - a  > 0 <=>  (b+c) - (a+c) > 0  <=>  a+c < b+c