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Für welche Werte von λ und µ haben die folgenden reellen linearen Gleichungssysteme

keine Lösung, eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen.

2x+3y+z= 5

3x-y+λz= 2

x+7y-6z= µ

Außerdem soll ich mein Ergebnis geometrisch interpretieren.


Wie geht man vor? Man bildet sich scheinbar erst die Koeffizientenmatrix.

2   3   1    |  5

3  -1   λ    |  2

1   7  -6    |  µ

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Versuche mal mit Gauss-Algorithmus auf Stufenform zu kommen.

Gibt bei mir

3  -1          λ    |  2
0   22   -λ-18   |  3μ-2
0    0      λ-8     |  µ-8

Die letzte Gleichung hat keine Lösung für

λ=8    und     µ≠8.

Dann hat das ganze Gleichungssystem keine Lösung,

es sind also Ebenen, von denen zwei sich in einer Geraden schneiden,

diese aber parallel zu (und nicht in) der 3. Ebene liegt

Für  λ=8    und     µ=8   hat das ganze Gleichungssystem

unendlich viele Lösungen.   Es sind also Ebenen,

die alle 3 eine gemeinsame Schnittgerade haben.

Ansonsten gibt es genau eine Lösung: Die drei Ebenen schneiden

sich in einem Punkt.

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  Zunehmend wird mir vorgeworfen, ich würde mich ewig ermüdend wiederholen. Das fällt aber nur den Betreibern dieses Forums auf, die eh schon alles wissen.

   So als wollten sich die Kollegen über einen Lehrer mokieren

   " Jetzt fängt der schon wieder bei Adam & Eva an ... "

   Hier ich seh ' sdoch. Ich kann das so oft erklären wie ich will. Mein Divisionstrick Marke Eigenbau setzt sich einfach nicht durch.

    Ich gehe aus von der Grundwahrheit

  "  Allgemeine Lösung des  LGS  gleich Sonderlösung +  Kern des homogenen  LGS "    (  1  )

   Machen wir nicht gleich alles auf einmal; bestimmen wir erst mal den Kern. Rechts setze ich also Null.


         2  x  +  3  y  +       z  =  0    |    :  z          (  2a  )

         3  x  -       y  +  ß  z   =  0    |    :  z          (  2b  )

             x  +  7  y  -  6   z    =  0    |    :  z          (  2c  )


    Dieser Divisionsalgoritmus funktioniert immer, so lange sich das Vorkommen der Parameter auf eine Spalte - hier die dritte - der Koeffizientenmatrix ( KM ) beschränkt. Ja es könnte sich sogar um 4 711 Parameter handeln, die in jeder Zeile der KM zu einer anderen Funktion verwurstelt sind - ich hatte eindeutig schon kompliziertere Probleme. Und zwar schlagen wir gleich vier Fliegen mit einer Klappe

   1) Den Parameter schmeißen wir aus der KM heraus.

   2)  Damit ist es nicht mehr erforderlich, die Determinante der KM Null zu setzen.

   3) Zwei Unbekannte gelten im gegentum zu dreien als beherrschbar.

   4) Trotz der Division bleibt das  LGS  linear, weil ja rechts Null steht.

    Wir setzen noch


           X  :=  x / z  ;  Y  :=  y / z        (  3  )


      Mit den neuen Unbekannten  ( 3 )  lauten ( 2a-c ) nunmehr


        2  X  +  3  Y  =  (  -  1  )            (  4a  )

        3  X  -       Y  =  -  ß                (  4b  )

             X  +  7  Y  =  6    |  *  2             (  4c  )


   Anmerkung; die Nummerierung der Gleichungen ( a-c ) behalte ich konsequent bei. Subtraktionsverfahren ( 4c )  -  (  4a  )  ;  den Umformungsschritt habe ich wie üblich vermerkt.


           11  Y  =  13  ===>  Y  =  13/11         (  5a  )

      (  4ac  )  ===>  X  =  (  -  25/11  )      (  5b  )


    notieren wir den Kernvektor wie üblich primitiv


       Kern  (  LGS  )  =  (  -  25  |  13  |  11  )     (  5c  )


     (  5ab  )  einsetzen in ( 4b )  ===>  ß  =  8


    Das heißt also jetzt  für   ß  ungleich 8  ist das  LGS  eindeutig lösbar  (  invertierbar  ) 

   Streng genommen ist ja Division durch z nur zulässig, wenn es keinen nicht trivialen Kernvektor gibt mit z = 0 .  Doch da können wir Entwarnung geben; wenn z = 0 , ist die Determinante von ( 2ac )  bereits ungleich Null


            z  =  0  ===>  x  =  y  =  0       (  6  )


   Erinnern wir uns: alles, was wir von deinem ( inhomogenen )  LGS  noch benötigen, ist eine Sonderlösung. Abermals greift der z-Trick.   Wenn es überhaupt eine Lösung gibt für ß = 8 , so notwendiger Weise auch eine mit z = 0 .   Zum zweiten Mal wurden drei Unbekannte auf zwei reduziert. Das sieht man jetzt folgender Maßen ein; sei ( x | y | z ) eine Lösung. Dann aber auch


    ( x0  |  y0  |  z0  )  :=  (  x  |  y  |  z  )  -  ( z/11 )   *  Kern  =       (  7a  )

  =  (  x  +  25/11 z  |  y  -  13/11 z  |  0  )       (  7b  )   ;  wzbw


   Dein Ausgangssystem notiere ich ohne z


           2  x  +  3  y  =  5                   (  8a  )

           3  x  -       y  =  2   |  *  3         (  8b  )

               x  +  7  y  =  µ                  (  8c  )


    Diesmal wählen wir das Additionsverfahren   (  8a  )  +  (  8b  ) 


      11  x  =  11  ===>  x  =  1  ;  y  =  1       (  9  )


    ( 9 ) eingesetzt in ( 8c )  ergibt die Aussage, dass es nur eine Lösung geben kann für µ = 8  - und zwar gleich unendlichj vielata wegen dem Kernstrahl.

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