Idee: Angenommen \(f\) wäre differenzierbar in \((0, 0)\). Dann gäbe es eine entsprechende lineare Abbildung \(\text{D}f(0, 0)\). Durch Kenntnis der partiellen Ableitungen ist \(\text{D}f(0, 0)\) eindeutig bestimmt. Berechne also die partiellen Ableitungen. Führe die so erhaltene Ableitung zu einem Widerspruch, indem du eine geeignete Richtungsableitung, beispielsweise in Richtung \(v = (0, 0)\), betrachtest.
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Angenommen die Funktion \[f : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \quad (x, y)\mapsto\begin{cases}\frac{x\cdot y^2}{x^2+y^2}, & \text{wenn} \left(x, y\right)\ne\left(0, 0\right) \\ 0, & \text{wenn} \left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\end{cases}\] wäre differenzierbar in \(\left(0, 0\right)\).
Für die partiellen Ableitungen gilt:\[\partial_{x}f(0, 0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h, 0)-f(0, 0)}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h} = 0\] \[\partial_{y}f(0, 0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0, 0+h)-f(0, 0)}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h} = 0\]
Demnach müsste also \[\text{D}f(0, 0) : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\] die Nullabbildung sein.
Für die Richtungsableitung von \(f\) in \((0, 0)\) in Richtung \(v = (1, 1)\) erhält man:
\[\partial_v f(0, 0) = \lim_{h\to 0 }\frac{f(0+h\cdot 1, 0+h\cdot 1)-\overbrace{f(0, 0)}^{=0}}{h} = \lim_{h\to 0 }\frac{f(h, h)}{h} = \lim_{h\to 0 }\frac{\quad\frac{h\cdot h^2}{h^2+h^2}\quad}{h} = \lim_{h\to 0 }\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Jedoch müsste andererseits auch \[\partial_v f(0, 0) = \text{D}f(0, 0)v \stackrel{(*)}{=} 0\ne \frac{1}{2}\] sein. [Bei \((*)\) ist eingegangen, dass \(\text{D}f(0, 0)\) die Nullabbildung wäre, wie zuvor hergeleitet wurde.]
Aufgrund dieses Widerspruches ist die Annahme, \(f\) wäre differenzierbar in \((0, 0)\), falsch gewesen. \(f\) ist nicht differenzierbar in \((0, 0)\).
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