Komplexe Zahlen und deren Menge zeichnen, sowie berechnen.

Question

Ich habe ein paar Fragen zum Thema komplexe Zahlen/Mengen.

Aufgabe:

Es sind die komplexen Zahlen z₁:= 2+i ; z₂ := 1/4+1/4i ; z₃:=-5/7 gegeben.

e) Welche der komplexen Zahlen z₁; z₂; z₃ sind Elemente der folgenden Mengen und welche
nicht?
M₁ := {z∈C|Im(z)>=Re(z)},

M₂ := {z∈C| |z|<=1}

g)Zeichen und berechnen Sie die Mengen ohne z₁; z₂; z₃ einzusetzen.

Leider weiß ich bei den zwei Aufgaben nicht richtig weiter.

Mir fällt es schwer die Mengen zu berechnen (g), sodass ich sie zeichnen könnte.

Wolfram spuckt mir zwar etwas raus, aber ich kann dies nicht nachvollziehen

Des Weiteren weiß ich nicht wie ich (e) angehen soll.

Hoffe ihr könnt mir dies etwas verständlich machen, Mengenlehre ist die Hölle auf Erden:)

LG Anton

Answer 1

Nimm mal eine allgemeine komplexe Zahl

z = x + y·i

Was bedeutet jetzt

M1 := {z ∈ C | Im(z) >= Re(z)},

M1 := {x + y·i ∈ C | y >= x},

M2 := {z ∈ C | |z| <= 1}

M2 := {x + y·i ∈ C | x^2 + y^2 <= 1} <-- Hier habe ich gleichzeitig die Bedingung quadriert.

Und ich weiß nicht was ihr gegen Wolfram habt. Zum schnellen Visualisieren ist das gut geeignet.

Comments

Danke dir.. Du hast also einfach nur eingesetzt und umgeformt, bzw. die Definition von |z| := sqrt(x^2+y^2) angewandt.

Und bei M1 darf man Im und Re einfach so ersetzen?

Ich neige irgendwie dazu das z in Im und Re durch die Definition z=x+bi zu ersetzen und damit etwas zu bezwecken, würde dies mathematisch auch funktionieren? Also gibt es dazu eine Herleitung ?

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ob man jetzt z durch x + b·i ersetzt oder durch x + y·i ist eigentlich völlig egal oder nicht?

Wenn ich x + y·i hat das den vorteil, das für funktionsplotter ich keine Variablenanpassung mehr vornehmen brauche. D.h. Wolfram plottet das ganz gewöhnlich.

Wie habt ihr denn

Im(z) = Im(x + y·i)
Re(z) = Re(x + y·i)

definiert.

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ahhhh danke dir, nun macht es Sinn

Answer 2

  Ist doch voll easy.     z2  €  M1  ,  alle übrigen nicht .  z1 liegt nicht in M2  .  Bei  z2  hast du

    |  z2  |  =  1/4  sqr  (  2  )  <  1/4  sqr  (  4  )  =  2/4  =  1/2  <  1  ===>  z2  €  M2      (  1  )

   z3 eben Falls;  5/7  <  7/7  =  1

   Hier Mengenlehre ist doch gar nicht schlimm. Gerade in der Geometrie ist sie anschaulich; du sollst nachprüfen, ob bestimmte gleichungen oder Ungleichungen erfüllt sind.

   Wie bist du bloß bis zu den komplexen Zahlen gelangt ohne Mengenlehre?

   Könnte es vielleicht sein, dass dein Schwachpunkt gar nicht die Mengenlehre ist, sondern das allgemeine Abschätzen von Ungleichungen so wie

wurzeln?

Comments

  Außerdem war lfram noch nie ein Allheilmittel; du musst schon selber grübeön, wie der überhaupt auf seine Ergebnisse kommt. Grade hier bei so elementaren Fragestellungen. Was willst du da groß mit Wolfram?

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Danke, ich versuche es mal nachzuvollziehen.

"Wie bist du bloß bis zu den komplexen Zahlen gelangt ohne Mengenlehre?"

Frag das lieber unseren Lehrer:) Der ist ziemlich, so etwas kommt hoffentlich nicht im Abi dran. 

"Könnte es vielleicht sein, dass dein Schwachpunkt gar nicht die Mengenlehre ist, sondern das allgemeine Abschätzen von Ungleichungen so wie wurzeln?"

Denke nicht, also bei mir versagt immer die Vorstellungskraft wie ich an solche Sachen herangehen soll, also die Mechanik ist noch nicht drinnen.

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"Außerdem war lfram noch nie ein Allheilmittel; du musst schon selber grübeön, wie der überhaupt auf seine Ergebnisse kommt. Grade hier bei so elementaren Fragestellungen. Was willst du da groß mit Wolfram?"

Wollte sehen wie die Menge ausschaut. :)

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Sry, aber ich verstehe deine Schritte nicht, oder besser was du damit zeigen möchtest.

Klar du schätzt etwas ab, aber mmh

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Ach so man setzt einfach nur ein, ohne umzuformen etc...

Also für M2

|z1| = sqrt(2^2+1^2) = sqrt(5) > 1 =>z1 ∉ M2

|z2| = sqrt(1/4^2+1/4^2) = sqrt(1/32) < 1 =>z2 ∈ M2

|z3| = sqrt((-5/7)^2) = sqrt(5/7) < 1  (da 5/7 < 1) => z3 ∈ M2

Und für M1 dasselbe...

Aber nun ist noch die Frage nach dem zeichnen...denn ich habe kein Gefühl wie die Mengen aussehen könnten

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  z2 hast du übrigens total ungeschickt .  Einen gemeinsamen Faktor wie  1/4 ziehst du raus  :

      1/4  (  1  +  i  )   

         und NICHT  quadrieren.   Der Betrag ist dann nach Pythagoras

       |  1  +  i  |  =  sqr  (  2  )

     Und jetzt mach es doch mit popeliger Zahlenteorie, indem du den Radikanden auf die nächste Quadratzahl aufrundest:

     1/4  sqr  (  2  )  <  1/4  sqr  (  4  )  =  2/4  =  1/2  <  1

    Zeichnen  .  Nimm dir ein  Blatt Millimeterpapier;  Realteil  =  x  ,  Imagteil  =  y  .   Zur Not tust du noch diesen Einheitskreis einzeichnen; Maßstab müsstest du mal sehen  (  etwa  1  =  100  mm  )

   Du darfst nie vergessen. Doe komplexe Ebene  |C  ist weiter nichts als der reelle |R  ²  .  Nur dass du zusätzlich eine Multiplikation einführst, so dass du auf einmal mit diesen Vektoren rechnen kannst.