Orthonormalbasis und hermitesche Matrix

Question

Meine Aufgabe ist in drei Teilaufgaben aufgesplittet worden. Könnte mir jemand bei den helfen?

1) Zeigen Sie: Das Produkt AB zweier hermitescher n×n-Matrizen A und B ist genau dann hermitesch, wenn AB = BA gilt.

2) Gegeben die Vektoren x = (1 1 i), y = (−1 −i 1)
in C³. Verwenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren, um eine Orthonormalbasis von U = Lin(x, y) zu bestimmen

3) Zeigen Sie, dass die komplexe 2 × 2-Matrix A normal ist.
Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und eine Orthonormalbasis von C² aus Eigenvektoren von A. A:= a11= i, a12=1, a21 =1, a22= i

Answer 1

zu a)

(AB)^† =B^†A^† =BA =! AB

---> AB=BA

Answer 2

Zu 1)

Wenn $AB$ hermitisch ist, gilt $\overline{AB} = (AB)^t = B^t A^t = \overline{B A}$ also $AB = BA$

Wenn $AB = BA$ gilt folgt $(AB)^t = (BA)^t = A^t B^t = \overline{AB}$ also $AB$ hermitisch

Zu 2)

$x = \begin{pmatrix} 1\\1\\i \end{pmatrix}$ und $\ y = \begin{pmatrix} -1\\-i\\1 \end{pmatrix}$, dann folgt

$v_1 = x$

$v_2 = y - \frac{ <x,y>}{<x,x>} x = \begin{pmatrix} 0\\1-i\\1+i \end{pmatrix}$

und $< v_1, v_2 > = 0$

zu 3)

Zeige das $A^* A = A A^*$ gilt mit $A^* = \overline{A}^t$ und $A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix}$

Die Eigenwerte kannst Du aus der Gleichung $\det{A - \lambda E} = 0$ bestimmen und bekommst dann

$\lambda_{1,2} = i \pm 1$

Die Eigenvektoren ergebn sich durch lösen der Gleichung $Av = \lambda v$ zu $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ jetzt noch die Eigenvektoren auf 1 normieren ergibt die Orthonormalbasis.