Orthonormalbasis und hermitesche Matrix

Question

Meine Aufgabe ist in drei Teilaufgaben aufgesplittet worden. Könnte mir jemand bei den helfen?

1) Zeigen Sie: Das Produkt AB zweier hermitescher n×n-Matrizen A und B ist genau dann hermitesch, wenn AB = BA gilt.

2) Gegeben die Vektoren x = (1 1 i), y = (−1 −i 1)
in C^3. Verwenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren, um eine Orthonormalbasis von U = Lin(x, y) zu bestimmen

3) Zeigen Sie, dass die komplexe 2 × 2-Matrix A normal ist.
Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und eine Orthonormalbasis von C^2 aus Eigenvektoren von A. A:= a11= i, a12=1, a21 =1, a22= i

Answer 1

zu a)

(AB)^{†} =B^{†}A^{†} =BA =! AB

---> AB=BA

Answer 2

Zu 1)

Wenn \( AB \) hermitisch ist, gilt \( \overline{AB} = (AB)^t = B^t A^t  =  \overline{B A} \) also \( AB = BA \)

Wenn \( AB = BA \) gilt folgt \( (AB)^t = (BA)^t = A^t B^t = \overline{AB} \) also \( AB \) hermitisch

Zu 2)

\( x = \begin{pmatrix} 1\\1\\i \end{pmatrix} \) und \( \ y = \begin{pmatrix} -1\\-i\\1 \end{pmatrix} \), dann folgt

\( v_1 =  x \)

\( v_2 = y - \frac{ <x,y>}{<x,x>} x = \begin{pmatrix} 0\\1-i\\1+i \end{pmatrix} \)

und \( < v_1, v_2 > = 0 \)

zu 3)

Zeige das \( A^* A = A A^* \) gilt mit \( A^* = \overline{A}^t  \) und \( A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} \)

Die Eigenwerte kannst Du aus der Gleichung \(  \det{A - \lambda E} = 0 \) bestimmen und bekommst dann

\( \lambda_{1,2} = i \pm 1 \)

Die Eigenvektoren ergebn sich durch lösen der Gleichung \( Av = \lambda v \) zu \( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}  \) und \( v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}  \) jetzt noch die Eigenvektoren auf 1 normieren ergibt die Orthonormalbasis.