Konvergenzradius Reihe

Question

Folgende Reihe ist gegeben, dass der Mittelpunkt x₀=-5/3 ist habe ich bereits herausbekommen und stimmt auch mit der Lösung überein.

s(x)=∑_{k=0 bis ∞} (2k+1)/(2^k) * (3x+5)^k

Aber beim Konvergenzradius bekomme ich r = 2 heraus und in der Lösung steht r = 2/3.

Habe bereits beide Kriterien ausprobiert und bin jeweils aufs gleiche gekommen.

lim |((2k+1)*2^{k+1})/((2^k)*(2(k+1)+1))|  = lim (4k+2)/(2k+3) -> 2

Ich hoffe jemand kann mich in die richtige Richtung führen, bitte keine bloßen Lösungen, außer die vorgegebene Lösung ist falsch.

Answer 1

Du musst bei dem Term (3x+5)^k die 3 rausziehen, dann gibt es

3^k * ( x +5/3)^k und die 3^k gehören mit zu dem Koeffizienten, dann steht dort nicht mehr 2^k im Nenner sondern der Faktor (3/2)^k  und der Entwicklungspunkt ist dann -5/3.

Comments

der Fragensteller hier.

Also muss ich aufgrund der 3x quasi die gesamte Aufgabe durch 3 Teilen und habe mit dem Ergebnis r = 2 deshalb eigentlich r = 2/3 ?

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Genaueres Argument wäre

(2k+1)/(2k) * (3x+5)^k

=(2k+1)/(2k) *3^k * (x+5/3)^k

=(2k+1)*(3/2)^k * (x+5/3)^k

Das wären dann die Summanden der Pot.reihe

in der üblichen Form.

Und hier das Quotientenkriterium anwenden gibt r=2/3.

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Ok vielen Dank, würde gerne das gerne als beste Antwort markieren, aber war beim Fragen irgendwie nicht eingeloggt.