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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe.

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{5^{n}+1}\) Für welches z ∈ ℂ konvergiert die Reihe?


Problem/Ansatz:

Wie gehe ich weiter vor, falls mein Ergebnis bis jetzt überhaupt richtig ist.

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{5^{n}+1}  \quad a_{n+1}=\frac{z^{n+1}}{5^{n+1}+1} \)
\( \frac{z^{n+1}\left(5^{n}+1\right)}{z^{n}\left(5^{n+1}+1\right)}=\frac{5^{n} z+z}{5^{n+1}+1}=\frac{5^{n}\left(z+\frac{z}{5^{n}}\right)}{5^{n}\left(5+\frac{n}{5^{n}}\right)} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{z+\frac{z}{5^{n}}}{5+\frac{1}{5^{n}}}=\frac{z+0}{5+0}=\frac{z}{5} \)
\( \frac{z}{5}<1 \Rightarrow z<5 \)

von

1 Antwort

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Du musst hier immer den Betrag von z betrachten,

also Konvergenzradius 5.

Jetzt musst du noch schauen was auf dem Rand des Konvergenzkreises

los ist, also für |z|=5.

von 270 k 🚀

Also z = -5 und z = 5? Muss ich das jetzt einfach in die Reihe einsetzen und nochmal das Quotientenkriterium anwenden?

Das ist ja für z∈ℂ. Da gibt es ja noch mehr Möglichkeiten.

Aber ich meine für |z|=5 ist | \(\frac{z^{n}}{5^{n}+1}\) | keine

Nullfolge und da kann die Reihe nicht konvergieren.

Und wie mache ich jetzt weiter? Ich blicke da jetzt nicht mehr durch

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