Berechnung mit Identität, Logarithmus und Produkt. ∑ 1/k(k+1) von k=1 bis n

Question

hi leute. muss bis morgen meine übungsbeispiele fertig kriegen.  

 

-) berechnung unter der verwendung der identität 1/n(n+1)=1/n - 1/n+1

∑ⁿ_k=1 1/k(k+1)

begründen sie warum man solche summe teleskopsumme nennt. 

-) berechnung vom produkt 

∏^m_m=1  (1/(1+(1/m)))

berechnen in dem man logarithmus rechengesetze anwendet. welcher typ von summe entsteht dabei. 

 

-) ausmultiplizieren von (a-x)^1*(b-x)^2*(c-x)^3***(y-x)^25*(z-x)^26

Answer 1

Ich möchte dich bitten, bei eventuell weiteren Fragen immer auf die Eindeutigkeit deiner Darstellungen zu achten. Verwende insbesondere Klammern, um darzustellen, was im Zähler und was im Nenner eines Bruches stehen soll. 

1)

Gemeint ist hier folgende Identität: 1 / ( n * ( n + 1 ) ) = ( 1 / n )  - ( 1 / ( n + 1 ) )

∑ⁿ_k=1  1 / ( k * ( k + 1 ) )

[Verwendung der angegebenen Identität:]

= ∑ⁿ_k=1 [ ( 1 / n )  - ( 1 / ( n + 1 ) ) ]

= [ ( 1 / 1 ) - ( 1 / 2 ) ] + [ ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ] + [ ( 1 / 3 ) - ( 1 / 4 ) ] + ... + [ ( 1 / n ) - ( 1 / ( n + 1 ) ) ]

= ( 1 / 1 ) - ( 1 / ( n + 1 ) )

= n / ( n + 1 )

Solche Summen heißen Teleskopsummen, weil sie sich, wie man in der drittletzten Zeile der Berechnung erkennen kann, ähnlich wie ein (altertümliches) Teleskop verhalten, bei welchem die einzelnen Rohre, aus denen es besteht, auseinander und wieder zusammengeschoben werden. Bei der oben berechneten Summe wird der zweite Summand ( - 1 / 2 ) durch den dritten ( + 1 / 2 ) wieder egalisiert, ebenso der vierte durch den fünften und so setzt sich das fort bis zum Schluss. Übrig bleiben der erste und der letzte Summand.

 

2)

(Zur besseren Lesbarkeit des Folgenden empfehle ich, die Vergrößerungsstufe des Browsers auf 150 bis 200 % zu stellen)

∏^m_m=1  ( 1 / ( 1 + ( 1 / m ) ) )

Gemeint ist hier vermutlich:

∏^m_k=1  1 / ( 1 + ( 1 / k ) )

[Erweitern des Faktors mit k:]

= ∏^m_k=1   k / ( k + 1 )

[a = e ^{ln ( a )} , also:]

= e ^{ln ( ∏m_k=1   k / ( k + 1 ) )}

[Logarithmusgesetz: ln ( a * b ) = ln ( a ) + ln ( b ) , auf diese Weise kann man ein Produkt als Summe darstellen, also:]

= e ^{∑m_k=1  ln ( k / ( k + 1 ) ) )}

[Logarithmusgesetz: ln ( a / b ) = ln ( a ) - ln ( b ) , also:]

= e ^{∑m_k=1  ( ln ( k ) - ln ( k + 1 ) )}

= e ^{[ ln ( 1 ) - ln ( 2 ) ] +  [ ln ( 2 ) - ln ( 3 ) ] + ... + [ ln ( m ) - ln ( m + 1 ) ]}

[Im Exponenten steht nun wieder eine Teleskopsumme, ihr Ergebnis ist ln ( 1 ) - ln ( m + 1 ), also:]

= e ^{ln ( 1 ) - ln ( m + 1 )}

[ ln ( 1 ) = 0 , also:]

= e ^{0 - ln ( m + 1 )}

= e ^{- ln ( m + 1 )}

= 1 / e ^{ln ( m + 1 )}

[ e ^{ln ( a )} = a , also:]

= 1 / ( m + 1 )