Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

Question

Unter einer Nullstelle k-ter Ordnung  einer gebrochenrationalen Funktion f(x) versteht man eine reelle Zahl x0, für die es ganzrationale Funktionen n*(x), z*(x) so gibt, dass n*(x0) nicht gleich 0 ||||||||||  und ||||||||

  f(x)=z*(x)/n*(x) mal (x-x0)^k .

übrigens: z(x) ist der Zähler, und n(x) ist der Nenner

wäre nett wenn mir jemand erklären könnte was ich darunter zu verstehen habe

Comments

Soll das so aussehen?

$$f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}\cdot ({x-{x}_{0})}^{k}$$

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Die ganze Frage ist für mich etwas wirre.
Stell einmal ein Foto ein.
f ( x ) = z ( x ) / n ( x )
Nullstelle z ( x ) = 0.

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ja aber mit * zwischen z und x

und  zwischen n und x *

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was soll z * ( x ) sein?
Gib einmal ein Beispiel.

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Hier ist die grafik , danke für die bisherigen antworten

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Ich habe schon häufiger Null- und Polstellen
berechnet. Aber so eine komplizierte Erklärung
wie in diesem Text erscheint mir nicht unbedingt
erforderlich.
Vielleicht kann dir jemand eine zufrieden-
stellende Antwort geben.

Answer 1

ich entnehme die Informationen aus diesem Artikel, bin mir aber nicht sicher, ob das damit gemeint ist:

http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/i_Nullstellen_gr.html

Wenn jetzt z ( x) = 0  und n ( x ) ≠ 0 ist, dann ist:

f ( x ) ≈ (x - x0 )^k

Das heißt, diese "ungefähre Funktion" spiegelt einen Teil der Ausgangsfunktion wieder.

Beispiel:

 g ( x ) =  ( ( 2 * x ) / ( 4 ) ) * ( 2 - x )  ^2

Für x = 0 ist:

g ( x ) ≈ ( 2 - 0 ) ^2

Ist das damit gemeint? Wenn nicht, wäre es nett, wenn jemand die Antwort als Kommentar editiert.

Gruß

Smitty

Answer 2

  Alles Unsinn . Ich hoffe   zu deinen Gunsten, dass du schon der Differenzialrechnung mächtig bist . Denn wer nicht ableiten kann, schaut die Matematik an mit den Augen eines Kindes, das noch an den Klapperstorch glaubt .

   Hast nichg auch du die frage gestellt nach der k_fachen Polstelle?  Auch hier gebe ich meinem Bedauern Ausdruck, dass natürlich auch ganz rationale, nicht nur gebrochen rationale Funktionen mehrfache Nullstellen haben - weißt du doch aus dem Elementarunterricht . Z.B. 

      f  (  x  )  :=  (  x  -  1 )  (  x  -  4 711  )  ^ 4 712        (  1a  )

   Aber transzendente Funktionen können auch welche haben.

       f  (  x  )  :=  sin  ^ 4 711  (  x  )           (  1b  )

           Da gibt es jetzt zwei äquivalente Definitionen :

     DEFINITION  1

    ==================

    Eine Funktion  y  =  f  (  x  )  besitzt in x0 eine k-fache Nullstelle, falls es auf einer ( offenen ) Umgebung von x0 eine k_mal differenzierbare Funktion  g  (  x  )  gibt mit

     f  (  x  )  =:  (  x  -  x0  )  ^  k   g  (  x  )        (  2  )

   Aus  ( 2 ) ergeben sich selbst redend alle Funktionswerte von g -  mit Ausnahme von g ( x0 ) , da ja die Division durch Null verboten ist. Wir setzen

       g0  =:  g  (  x0  )  :=          lim                   g  (  x  )         (  3a  )

                                           x ===>  x0

    g0 ist wohl definiert, da ja g differenzierbar, also insbesondere stetig ist .    Dann wollen wir aber zusätzlich noch die Ungleichung fordern

       g0  <  >  0       (  3b  )

    da ja  ansonsten   der exponent  k in ( 2 ) mehrdeutig wäre  .

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    DEFINITION  2

  ================

    Eine auf einer Umgebung von x0 k-Mal differenzierbare Funktion y = f ( x ) hat eine k-fache Nullstelle, falls

   f ( x0 ) = f ' ( x0 ) = f " ( x0 ) = ... = ( d/dt ) ^ ( k - 1 ) f ( x0 )  =  0       (  4a  )

        ( d/dt )  ^ k  f  (  x0  )  <  >  0      (  4b  )

    ===============================================================

   Nur um nal zu zeigen, wie wichtig dass das Keiterium der Differenzierbarkeit ist. Die Betragsfunktion hat eine Nullstelle für x = 0 ; diese Nullstelle hat überhaupt keine irgendwie definierte  "  Ordnung " Weil die Betragsfunktion nicht differenzierbar ist .