Grenzwertberechnung unecht gebrochenrationaler Funktionen. fa(x) = x² / (x - a²)

Question

Gegeben ist die Funktionsschar fa(x) = x² / (x - a²),  x e R,  a e R,  a>0. Zugehörige Kurvenschar sei Ga.

Gesucht sind die Gleichungen der Asymptoten von Ga.  
Die lokalen Extrempunkte von Ga liegen auf dem Graphen einer Funktion g. Gebe die Gleichung für g an.

Comments

Ich nehme an x-a^2 steht als Ganzes im Nenner und ergänze die fehlende Klammer. Du würdest wohl mit x kürzen, wenn das nicht so wäre?

Answer 1

Wir machen eine Polynomdivision

x² : (x - a²) = x + a² + a⁴/(x - a²)
x² - xa²
--------------------
xa²
xa² - a⁴
--------------------
a⁴

Die Asymptote ist 

ga(x) = x + a²

 

Comments

Die lokalen Extrempunkte von Ga liegen auf dem Graphen einer Funktion g. Gebe die Gleichung für g an.

f(x) = x + a² + a⁴/(x - a²)

f '(x) = 1 - a⁴/(x - a²)² = 0

Das lösen wir nach a auf

a⁴/(x - a²)² = 1
a⁴ = (x - a²)²
a⁴ = x² - 2xa² + a⁴
x² - 2xa² = 0
a² = x/2
a = √(x/2)

 

g(x) = x² / (x - √(x/2)²) = x² / (x - x/2) = x² / (x/2) = 2x

Skizze folgt: