Question

Nullfolge beweisen? Grenzwert bei Folgen. (cos(n^2 + 1))^2/n → 0 ?

Folgen und Reihen

Zeigen Sie, dass gilt:

$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { ( \cos \left( n ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } } { n } = 0 $$

Also ich weiß, dass 1/n eine Nullfolge ist und ich weiß, dass der obere Ausdruck gegen 1 strebt, da cos (x) > 1 sein muss.

Nun ist meine Frage wie schreibe ich das in Mathematikerdeutsch auf, damit dies in der Klausur akzeptiert wird?

Answer 1

Sei ε > 0.

Finde ein N ∈ ℕ, so dass |a_n| < ε für alle n > N ist.

da cos (x) > 1 sein muss.

Das muss nicht nur nicht sein. Das kann sogar gar nicht sein.

Comments

Ah ich meinte cos(x) =< 1!

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Das ist nur die halbe Wahrheit.

Die andere Hälfte lautet

        cos(x) ≥ -1.

Diese zwei Tatsachen kann man zusammenfassen zu

        |cos(x)| ≤ 1.

Wegen n > 0 ist dann auch

        |cos(x)/n| ≤ 1/n.

Wenn |cos(x)/n| < ε sein soll, reicht es also, dass

        1/n < ε

ist. Das ist der Fall, wenn n > 1/ε ist.

Answer 2

  Ist doch easy  . Eine beschränkte Funktion wird mit einer Nullfolge multipliziert . Dass da Null bei raus kommt, ist ein Lemma, das man einmal beweist - das Rad musst du nicht jedesmal wieder neu erfinden .