< v,w >=1/4(||v+w||^2−||v−w||^2+i||v+iw||^2−i||v−iw||^2)

Question

Ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Aufgabe.
V ist ein unitärer Vektorrau und v,w ∈ V. Nun soll ich zeigen, dass
< v,w >=1/4(||v+w||²−||v−w||²+i||v+iw||²−i||v−iw||²).

Leider weiß ich gerade gar nicht, wie ich das machen muss und es wäre toll wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

Rechne einfach nach:

Es ist ja ||v|| = √<v,v> .

Also 1/4(||v+w||^2−||v−w||^2+i||v+iw||^2−i||v−iw||^2)

   = 1/4 * (  <v+w,v+w> -  <v-w,v-w> + i*<v+iw,v+iw> - i*<v-iw,v-iw> )

   = 1/4 * (  <v,v>+<v,w> +<w,v> +<w,w> - ( <v,v>-<v,w> -<w,v> +<w,w> ) + i*(<v+iw,v+iw> - <v-iw,v-iw> ))

= 1/4 * ( 2<v,w> +2<w,v>  + i*(<v+iw,v+iw> - <v-iw,v-iw> ))

Dann entsprechend die Klammer (<v+iw,v+iw> - <v-iw,v-iw> )

auflösen und alles zusammenfassen !