Anwendung des Satzes vom Minimum und Maximum.

Question

$$Aufgabe:\quad Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad die\quad Funktion\quad f:R\rightarrow R\quad defniert\quad mittels\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad f(x)=\frac { x }{ { x }^{ 2 }+1+|x| } -x\sqrt { |cos(\pi x)| } ,\\ auf\quad dem\quad Intervall\quad [-1,1]\quad eine\quad Nullstelle,\quad ein\quad Maximum\quad und\quad ein\quad Minimum\quad hat.\\ \\ Meine\quad Lösung:\\ Die\quad Funktion\quad f\quad ist\quad als\quad Summe,\quad Produkt\quad sowie\quad Quotient\quad von\quad elementaren\quad stetigen\quad Funktionen\quad stetig.\\ Wir\quad suchen\quad eine\quad Lösung\quad für\quad f(x)=0.\\ Es\quad ist\\ f(-1)=\frac { 2 }{ 3 } >0\quad und\quad f(1)=-\frac { 2 }{ 3 } <0.\\ Somit\quad existiert\quad nach\quad dem\quad ZWS\quad ein\quad x*\in [-1,1]\quad für\quad das\quad gilt\quad f(x*)=0.\\ \\ Nun\quad weiß\quad ich\quad allerdings\quad nicht\quad wie\quad ich\quad hier\quad mit\quad dem\quad Maximum\quad und\quad Minimum\quad argumentieren\quad soll.\\ Klar\quad es\quad gibt\quad den\quad Satz\quad vom\quad Maximum\quad und\quad ein\quad Minimum\quad wobei\quad jede\quad auf\quad einem\quad kompakten\quad Intervall\quad definierte,\quad reelle\quad und\quad stetige\\ Funktion\quad im\quad Definitionsbereich\quad ihr\quad Maximum\quad sowie\quad Minimum\quad annimmt.\quad Allerdings\quad weiß\quad ich\quad nicht\quad wie\quad ich\quad ihn\quad hier\quad anwenden\quad soll,\quad \\ kann\quad wer\quad helfen?\\ $$

Answer 1

Hallo Lumpi,

f: ℝ → ℝ  ist stetig und [-1,1] ⊂ ℝ ist ein kompaktes Intervall (beschränkt und abgeschlossen).

Wo ist das Problem?

Gruß Wolfgang

Comments

Woher wissen wir, dass es kompakt ist? Muss man dies nicht prüfen?

Das Problem ist, dass es bei dieser Aufgabe 12 Punkte gibt und dort somit irgendwas faul sein muss. :)

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https://de.wikipedia.org/wiki/Kompaktheit_(reelle_Zahlen)

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Also muss ich nun zeigen, dass alle folgen im Intervall, auch ihren Grenzwert im Intervall haben? MMH

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Zweifelst du daran, dass [-1,1] "beschränkt und abgeschlossen" also kompakt ist?

Und welchen GW außerhalb von [-1,1]  sollte denn eine Folge mit Folgengliedern aus  [-1,1] haben.

Angenommen  "GW" = 1+ε  (ε∈ℝ⁺) ,  dann liegt  1+ε/2 auch nicht im Intervall, aber näher an allen Folgengliedern als der "GW"  ( -1-ε analog)

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Zweifelst du daran, dass [-1,1] "beschränkt und abgeschlossen" also kompakt ist?

Ja, denn wenn man nicht weiß wie die Funktion ausschaut, woher will man wissen, dass sie auf dem Intervall beschränkt und abgeschlossen ist.

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Die Menge, die kompakt (beschränkt und abgeschlossen) sein soll, ist doch  [-1,1].

Das hat doch mit der Funktion nichts zu tun.

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Ok, also muss ich nichts beweisen gut.

Dann wäre nur zu klären wo sie genau ihr Minimum und Maximum annimmt und warum.

Graphisch wäre es an den Intervallgrenzen/Randpunkten, aber wie zeigt man dies?

War da nicht was mit der Monotonie?

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Ok, also muss ich nichts beweisen gut.

Woher soll ich wissen, welche Voraussetzungen ihr habt?

Den Beweis habe ich dir doch aufgezeigt.

Dann wäre nur zu klären wo sie genau ihr Minimum und Maximum annimmt und warum.

Das ist in der Aufgabenstellung (wohl mit gutem Grund) nicht gefragt!

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Das ist in der Aufgabenstellung (wohl mit gutem Grund) nicht gefragt!

Darf ich fragen warum "mit gutem Grund"? 

Woher soll ich wissen, welche Voraussetzungen ihr habt?

Den Beweis habe ich dir doch aufgezeigt.

Ich bin Informatikstudent, also wir haben es nicht so mit dem beweisen, ich weiß bloß nie, ob ich es einfach so hinschreiben darf

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Es gibt zum Beispiel einfach den Satz:

Sei [a;b] ⊂ ℝ  ein abgeschlossenes Intervall

Ist f: [a;b] → ℝ stetig, dann nimmt f in  [a;b]  ein Maximum und ein Minimum an.

Den hat man schon in der Schule.

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Ja, den Satz kenne ich, ich habe mich nur mit der Funktion etwas schwer getan, da diese etwas kompliziert ist und ich dachte, dass wir die Punkte zeigen sollten, also das Maximum und Minimum. Aber anscheinend ist es nicht verlangt. Mich würde allerdings dennoch interessieren, wie man diese berechnen könnte:)