partielle Differenzierbarkeit, f(x,y): = x^3 y sin(y/x) , x≠0 und f(0,y):= 0

Question

$$ f ( x , y ) : = \left\{ \begin{array} { c c } { x ^ { 3 } y \operatorname { sin } ( y / x ) , } & { x \neq 0 } \\ { 0 , } & { x = 0 } \end{array} \right. $$

Ich mache gerade Übungsaufgaben für die anstehende Klausur und bin auf diese Aufgabe gestoßen. Nun bin ich mir nicht ganz sicher was richtig ist.

Ich weiß bisher das die Funktion stetig ist nun habe ich auf Differenzierbarkeit geprüft und komme auf ein Problem, bei dem ich mir nicht ganz sicher bin.

Eine Möglichkeit wäre die Folgen 1/h für x und für y=h³ einzusetzen für h gegen unendlich, sodass ich auf sin(h^4) komme, wobei die Funktion dann ja nicht in x = 0 partiell Differenzierbar ist, dass müsste ja reichen um dies zu zeigen, da y ja beliebig sein kann und es reicht eins zu finden für das es nicht klappt oder? (Was in dem Fall ja h³ bzw. h gegen unendlich wäre)

Answer 1

Vorschlag
Differenzieren nach x

lim x −> 0 [ sin ( y/x)] = unbestimmt ( Division durch 0 )
aber der Sin-wert kann sich nur zwischen -1..1 bewegen.

lim x −> 0 [ y * x^3 * sin ( y/x) ]  = 0 * ( -1..1 ) = 0
stetig ist die Funktion schon einmal

Die Steigung von x = 0 nach x= 0 + h  ( linksseitig)
dürfte m ( links ) = 0

Rechtsseitig differenziert
$$ 3 \cdot x ^ { 2 } \cdot y \cdot \operatorname { sin } ( \frac { y } { x } ) - x \cdot y ^ { 2 } \cdot \operatorname { cos } ( \frac { y } { x } ) $$
lim x → 0 = 0

Rechtsseitige Steigung m ( rechts ) = 0

Nach x dürfte die Funktion differenzierbar sein.

Bei Bedarf nachfragen.

Answer 2

  Ich setze    

       m  :=  y / x          (  1a  )

   f  (  x  ;  y  )  :=  x  ³  y  sin  (  m  )        (  1b  )

    Warum ist sie stetig? Im Ursprung ist ja das Steigungsmaß  m  unbestimmt;  doch der polynomiale Vorfaktor des Sinus unterdrückt dieses Verhalten.

       Null  *  Beschränkt  ===>  0      (  2  )

     f_x  (  x  ;  y  )  =  3  x  ²  y  sin  (  m  )  -  x  y  ²  cos  (  m  )  ===>  0       (  2a  )

   f_y  (  x  ;  y  )  =  x  ³  sin  (  m  )  +  x  ²  y  cos  (  m  )  ===>  0        (  2b  )