Komplexe Gleichung z^{3} = −4^{3} i lösen. Komplexe Wurzeln

Question

Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ C der Gleichung z^3 = −4^3 i
Ich habe folgende Lösungen raus:

z0=-4e^{i*3pi/6}

z1=-4e^{i*5pi/6}

z2=-4e^{i*11pi/6}

Kann da mal jemand drüber schauen, ich bin noch sehr unsicher in dem Thema.

Comments

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Answer 1

Wo steht das i?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3+%3D+%E2%88%924%5E3*i

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3+%3D+%E2%88%924%5E(3*i)

Answer 2

z^{3} = −4^{3} i

= 4^3 * e^{3πi / 2}

z_1 = 4 e^{πi/2} = 4i

z_2= 4 e^{ πi/2 + 2πi/3}

z_3 = 4 e^{πi/2 + 4πi/3}

z_2 und z_3 kann noch vereinfacht werden mit z.B. Pythagoras.

Comments

weißt du wie ich den phi winkel ohne taschenrechner berechne/herleiten kann?

LG

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π entspricht 180°

und dann weiter mit Dreisatz und Bruchrechnung bis du etwas hast, wie 60°, 45° oder 30°, wo du Sinus- und Cosinuswerte mit dem Pythagoras berechnen kannst, wenn du sie nicht bereits gelernt hast.

Answer 3

  Minuss  4  ³  i  hat Betrag  4   ³    und  Phase  (  -  90  °  )   Wenn du also die Kubikwurzel ziehst, kriegst du Betrag 4 und Phase  ( - 30 )

    w1  =  2  (  3  ^ 1/2  -  i  )     (  1  )

   Jetzt gibt es noch die beiden primitiven kubischen Einheitswurzeln .  Die eine verläuft  unter  120  °  ;  ( 120  -  30  =  90  )  Das wäre dann

     w2  =  4  i       (  2  )

      Die konjugierte primitive ist natürlich Minus 120  .   ( - 30 - 120 = - 150 )

   w3  =  -  2  (  3  ^ 1/2  +  i  )       (  3  )