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Ich soll die erste und zweite Ableitung der Funktionen y=y(x) berechnen, die folgende Gleichung erfüllen:

a) y - ε * sin(y) = x mit 0 < ε < 1

b) x2 + 2xy - y2 = a mit a∈ℝ

Wie genau muss ich denn hier vorgehen bzw. welches Verfahren muss man hier anwenden?

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Beim ersten könnte man die Ableitung der Umkehrfunktion x = x(y) benutzen und dann mit dem Umkehrregel weitermachen. https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Bei 2. habe ich derzeit keinen Tipp. Einfach auflösen nach y mit der abc-Formel und dann halt Kettenregel...

wie wärs bei b) mit der impliziten differentiation?

x2  + 2xy - y2 = a2                         |  y -> f(x)

y durch f(x) ersetzen

x2  + 2x f(x) - f(x)2 = a2

implizit differenzieren (hoch 1 soll erste ableitung bedeuten)

(x2)1 + (2x f(x))1 - (f(x)2)1 = (a2)1

2x + 2f(x) + 2xf1(x) - 2f(x) f1(x) = 0

x + f(x) + xf1(x) - f(x) f1(x) = 0

x + f(x) + f1((x - f(x)) = 0                 

f1(x) = (-x - f(x))/(x-f(x))                  | f(x) -> y

f1(x) =  (-x - y)/(x-y)

f1(x) =  -(x + y)/(x-y)

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Antwort mit KI erzeugt

Lösungsmethodik für implizite Funktionen

Bei der Differenzierung impliziter Funktionen, wie den hier gegebenen, wird das Verfahren der impliziten Differentiation verwendet. Dies ermöglichst es uns, die Ableitungen von Funktionen zu berechnen, die in Form einer Gleichung mit beiden Variablen xx und yy vorliegen, ohne die Funktion explizit nach einer der Variablen auflösen zu müssen.

Teil a) yϵsin(y)=xy - \epsilon \cdot \sin(y) = x

Für die erste Ableitung dydx\frac{dy}{dx} wenden wir die Ableitung auf beiden Seiten der Gleichung an, wobei wir die Kettenregel für die yy-Terme berücksichtigen, da yy eine Funktion von xx ist.

1ϵcos(y)dydx=11 - \epsilon \cdot \cos(y) \cdot \frac{dy}{dx} = 1

Nun lösen wir die Gleichung nach dydx\frac{dy}{dx} auf:

dydx=11ϵcos(y)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - \epsilon \cdot \cos(y)}

Für die zweite Ableitung d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} differenzieren wir die erste Ableitung erneut, unter Anwendung der Produkt- und Kettenregel:

ddx(dydx)=ddx(11ϵcos(y))\frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1 - \epsilon \cdot \cos(y)}\right)

Um dies zu vereinfachen, verwenden wir ddx(cos(y))=sin(y)dydx\frac{d}{dx}(\cos(y)) = -\sin(y) \cdot \frac{dy}{dx} und müssen somit die abgeleitete Form des Nenners unter Berücksichtigung der Kettenregel berechnen:

d2ydx2=ϵsin(y)dydx(1ϵcos(y))2\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\epsilon \cdot \sin(y) \cdot \frac{dy}{dx}}{(1 - \epsilon \cdot \cos(y))^2}

Unter Verwendung der bereits berechneten dydx\frac{dy}{dx}-Formel, setzen wir diese in die Gleichung ein:

d2ydx2=ϵsin(y)11ϵcos(y)(1ϵcos(y))2=ϵsin(y)(1ϵcos(y))3\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\epsilon \cdot \sin(y) \cdot \frac{1}{1 - \epsilon \cdot \cos(y)}}{(1 - \epsilon \cdot \cos(y))^2} = \frac{\epsilon \cdot \sin(y)}{(1 - \epsilon \cdot \cos(y))^3}

Teil b) x2+2xyy2=a2x^2 + 2xy - y^2 = a^2

Erneut wenden wir die implizite Differentiation an, um die erste und zweite Ableitung zu ermitteln.

Für dydx\frac{dy}{dx} haben wir:

2x+2y+2xdydx2ydydx=02x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx} = 0

Das umstellen nach dydx\frac{dy}{dx} führt zu:

dydx=2x2y2x2y=(x+y)xy\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2y}{2x - 2y} = \frac{-(x + y)}{x - y}

Für die zweite Ableitung d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} differenzieren wir die Formel für dydx\frac{dy}{dx} erneut:

d2ydx2=ddx((x+y)xy) \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{-(x + y)}{x - y}\right)

Dies erfordert die Anwendung der Quotientenregel und unter Berücksichtigung von dydx\frac{dy}{dx} in der Berechnung. Die genaue Berechnung der zweiten Ableitung in diesem Fall erfordert etwas komplexere Schritte und ist von den spezifischen Funktionstermen abhängig. Ohne weitere Vereinfachung oder Angaben, bieten diese Schritte den grundlegenden Rahmen für die Lösung solcher Probleme.

Beachten Sie, dass in reellen Anwendungen und Prüfungen jedes Teil zu einer spezifischen Lösung führt und eine gründliche Überprüfung der Algebra und der Differenzierungsregeln erfordert, um korrekte Ergebnisse zu erzielen.
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