Basis aus Eigenvektoren? ((1, 10),(0,1)) € M_(2)(K)

Question

Kann mir vielleicht jemand erklären, wie ich nachprüfen kann ob eine Matrix eine Basis aus Eigenvektoren besitzt? Die auf dem Bild soll angeblich keine haben...aber warum?

Basis aus Eigenvektoren?  ((1, 10),(0,1)) € M_(2)(K)

$$\left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 10 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \in M _ { 2 } ( k )$$

Answer 1

Was meinst du mit Basis einer Matrix?

Comments

so genau weiß ich auch nicht was damit gemeint is....das ist auf jedenfall die vollständige Aufgabenstellung 

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Da steht "Gibt es eine Basis aus Eigenvektoren?" ohne Angabe, wovon (von welchem (Unter-)Vektorraum) überhaupt eine Basis gesucht ist.

Berechne einfach einmal wie verlangt die Eigenwerte und Eigenvektoren der angegebenen Matrix. Definition 5.4. in deinen Unterlagen verwenden!

Eine Basis des R^2 bekommst du mit den Eigenvektoren vermutlich nicht. Eine Richtung bleibt ja erhalten (1,0) hat als Bild (1,0) . Die Richtung von (0,1) bleibt nicht gleich. (10,1) ist ja nicht parallel zu (0,1).

Vielleicht eine Basis des Bildes der Abbildung? Überlege dir das und gehe mit deinen Vermutungen in die nächste Vorlesung.

Rechnungen sollten führen zu:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((1,+10),(0,1))

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Hast du nicht noch nach der zweiten Teilaufgabe (Geraden?Spiegelung) gefragt? (Das hat es mir gerade angezeigt).

Ein Eigenwert ist -1,

ein zweiter ist 1.

Die Eigenvektoren kennst du auch schon, wenn du die Gerade kennst, an der gespiegelt wird.

Answer 2

Hallo

 es ist  ja leicht die 2 Eigenwerte zu bestimmen. wieviele EV findest du dann?

Gruß lul

Comments

Also die Eigenwerte sind 1 und 0... bei dem Eigenwert 0, komme ich auf keinen Eigenvektor...stimmt das?

:)

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0 ist kein Eigenwert.

1 ist eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms.

k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 hat eine einzige doppelte Nullstelle k=1.

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ja, nur ein EV, deshalb keine Basis daraus.

zu Spiegelung, ohe rechnung überlegen, welche Vektoren werden erhalten, welche auf ihr negatives (also Eigenwert -1 abgebildet, daraus die Basis hinschreiben. (Notfalls einfach mal die spiegelung zeichnen!

lul