Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen x, y ∈ R^3 der linearen Gleichungssysteme

Question

gegeben ist die folgende Matrix.

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9  \end{pmatrix} $$

Und zu lösen ist das:

$$Ax=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

und:

$$Ay=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}$$

Also Ay hab ich wie folgt gelöst:

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 &5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 2 \\ 5 \\ 8  \end{vmatrix}$$

Hier wird die Dritte Zeile 0 = 0 und dadurch x_3 = t.

Und alles ausgerechnet komme ich auf:

$$y=\begin{pmatrix} t \\ -2t+1 \\ t \end{pmatrix}$$

Aber Ax ist nicht so einfach:

da kommt nämlich 0 = 1 in der dritten Zeile.

Wie mache ich das da? Muss ich etwas mit ker(A) machen? das musste ich bei teil a ausgerechnen.

$$ker(A)=\{\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\}$$

Normalerweise hat Ax = ... ja indem Fall einfach keine Lösungsmenge...

mfg

Answer 1

sobald du auf eine Zeile der Form 0=,,irgendeine Zahl" stößt, wird dein LGS nicht lösbar sein. Diese Zeile ist eine sogenannte Widerspruchszeile.

Comments

ah ok dann bin ich fertig? der teil mit Ay ist richtig?

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Ja, der Teil mit Ay sieht gut aus.

Bei Ax schreibst du halt solange deine Rechnung auf, bis du auf diese Widerspruchszeile kommst und machst am besten eine Markierung (Blitzsymbol) und schreibst $$ \mathbb{L}=\{\} $$ als Zeichen für leere Menge, also keine Lösung für dieses LGS. Fertig.

Answer 2

  Du hast doch ganz typisch diese Aussage

  " Allgemeine Lösung des LGS  =  Sonderlösung  +  Kern. "      (  1  )

   Fangen wir doch erst mal vorne an und bestimmen den Kernvektor.

        x  +  2  y  +  3  z  =  0     |   :  z      (  2a  )

    4  x  +  5  y  +  6  z  =  0     |  :  z      (  2b  )

    7  x  +  8  y  +  9  z  =  0     |  :  z      (  2c  )

    In  (  2a-c )  stelle ich dir meinen Divisionstrick  Marke Eigenbau Habakuk Spezial vor .  Damit soll erreicht werden, dass die Anzahl der Unbekannten auf 2 beschränkt wird; zwei Unbekannte gelten ja als beherrschbar .   Der Linearität  des  LGS  tut die Division auch keinen Abbruch, weil ja rechts Null steht.  Ich führe noch die neuen Unbekannten ein

              X  :=  x / z  ;  Y  :=  y / z         (  3  )

    In den Unbekannten  (  3  )  lauten  ( 2a-c ) nunmehr

             X  +  2  Y  =  (  -  3  )     |  *  4         (  4a  )

        4  X  +  5  Y  =  (  -  6  )          (  4b  )

        7  X  +  8  Y  =  (  -  9  )         (  4c  )

    Wie üblich habe ich den Umformungsschritt in  ( 4a ) vermerkt .  Zur Anwendung kommt das Subtraktionsverfahren  ( 4a )  -  (  4b )

     3  Y  =  (  -  6  )  ===>  Y  =  (  -  2  )      (  5a  )

   ( 4abc )  ===>  X  =  1      (  5b  )

     Und mit  (  5ab ) hast du den Kernvektor

    Kern  =  (  1  |  -  2  |  1  )      (  5c  )

   Ein Wermutstropfen bleibt uns allerdings; Division durch z in ( 2a-c ) ist ja nur dann zulässig, wenn es keinen nicht rttrivialen Kernvektor gibt mit z = 0 .  Doch da können wir Entwarnung geben;  setze z = 0 .  Dann ist allein schon die Determinante von ( 2ab ) ungleich Null .

   Wir erinnern uns, dass wir in ( 1 ) ja nur noch einer Sonderlösung bedürfen.  Wenn es überhaupt eine Lösung gibt, so immer auch eine ohne  z . Abermals greift der Trick, die dritte Unbekannte  z aus der Koeffizientenmatrix   ( KM ) hinaus zu schmeißen - wie das?  Sei ( 6a ) eine Lösung

               (  x0  |  y0  |  z0  )       (  6a  )

      Dann aber auch  ( 6b )

   ( x | y | z ) :=  ( x0 | y0 | z0 )  -  z0  *  Kern  =      (  6b  )

    =  (  x0  -  z0  |  y0  +  2  z0  |  0  )       (  6c  )

    Ich gehe jetzt also her und notiere deine  ganzen Gleichungen ohne z .

            x  +  2  y  =  1          (  7a  )

        4  x  +  5  y  =  1          (  7b  )

        7  x  +  8  y  =  2          (  7c  )

   Fällt dir übrigens auf, dass  ( 7a-c ) die selbe KM hat wie  ( 4a-c ) ?  Die Lösungsstrategie hängt ja nicht von der rechten Seite ab .

     y  =  1        (  8a  )

      (  7ab  )  ===>  x  =  (  -  1  )  ;  (  7c  )  ===>  x  =  (  -  6/7  )     (  8b  )  ;  Widerspruch

    und dein zweites Beispiel

            x  +  2  y  =  2            (  9a  )

        4  x  +  5  y  =  5            (  9b  )

        7  x  +  8  y  =  8            (  9c  )

    Wenn   Onestone kein Runaway war - wer denn dann?  Und der sagte immer

   " I vill a little tink. "

    Hier jetzt denk  dochmal scharf nach .  Die Spalten einer Matrix sind doch immer die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren .  Und in ( 9a-c )  stellt der Vektor der rechten Seite gerade Spalte  2  unserer  KM  dar - Wiedersehen macht Freude  .

   ===>  " You stimm mir zu; ich bin echt nicht schlecht. "

   Aber dann müsste doch  a priori auch ohne Rechnung x = 0 ; y = 1  -  vermagst du mir darin zu folgen?