Bestimmenung einer Tangentengleichung in einem Punkt

Question

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von y = ln(x) im Punkt mit der X-Koordinate 1/2.

(Tangentengleichung: y - y1 = a (x -x1) ; wobei (x1;y1) ein Punkt ist ). Zeigen Sie Ihre Herleitung auf.

Answer 1

Der Punkt ist $P\left(\frac{1}{2}|\ln\left(\frac{1}{2}\right)\right).$ Die allgemeine Geradengleichung ist $y=mx+n.$

Diese muss den gleichen Anstieg wie $\ln(x)$ im Punkt P haben.

Also: $m=\frac{d}{dx}\ln(x)|_{x=\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.$

Die Gerade ist dann $y=2x+n.$

Wenn man da den Punkt P einsetzt, kann man noch n berechnen:

$\ln\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}+n\Rightarrow n=\ln\left(\frac{1}{2}\right)-1=\ln\left(\frac{1}{2}\right)-\ln(e)=\ln\left(\frac{1}{2e}\right)=-\ln(2e).$

Die Tangentengleichung ist also: $y=2x-\ln(2e).$

Comments

Vielen Dank für die Beantwortung der Frage. Doch die Lösung im Buch lautet y = 2x - 1 -ln2

Da ich mathematisch nicht sehr gewandt bin weiss ich nicht ob Ihr Ergebnis umgeformt das gleiche wie im Buch ergibt.

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Das ist das Gleiche: $2x-\ln(2e)=2x-(\ln(2)+\ln(e))=2x-\ln(2)-1.$