inhomogene/homogene LGS Beweis

Question

Hallo :)
Ich habe hier eine Beweis-Aufgabe, mit der ich leider gar nicht klar komme! :/
Bei einem inhomogenen LGS mit einer Lösung (v1;v2;...;vn) erhält man alle Lösungen, indem man das Tupel (v1;v2;...;vn) zu allen Lösungen (u1;u2;...;un) des zugehörigen homogenen LGS addiert. Beweise diesen Satz.
Wäre super lieb, wenn mir jemand helfen könnte! :)

Answer 1

sei $M$ die Matrix, die das LGS $Mx = b$ mit der Inhomogenität $b$ erfüllt. $v$ ist gemäß Vorausetzung der Vektor, der $Mv = b$ erfüllt, $u$ erfüllt entsprechend $Mu = 0$.

Ist $v + u$ die Summe dieser beiden Lösungen ihrer Systeme, so gilt

$M(v + u) = Mv + Mu = b + 0 = b$.

Die Addition von u zu v ist also ebenso eine Lösung des inhomogenen LGS $Mx = b$.

Dies gilt für die Addition beliebig vieler Lösungen $u_a$, $u_b$, ... des homogenen LGS:

$M(v + u_a + u_b + ...) = Mv + Mu_a + Mu_b + ... = b + 0 + 0 + ... = b$.

Ausgenutzt wurde hierbei das Distributivgesetz für die Linksmultiplikation einer Matrix an einen Vektor.

MfG

Mister