pq-Formel mit Konstante/Parameter anwenden?

Question

Ich möchte den Schnittpunkt folgender Funktionen bestimmen:

f(x)=x²+4x+1

g(x)=2ax, a>0

Mein Ansatz:

x²+4x+1=2ax         |-2x

x²+4x-2ax+1=0

x²+x(4-2a)+1=0

x1,2=(4-2a)÷2+-Wurzel(((4-2a)÷2)²-1)

Wie geht es weiter?

Danke für alle Hilfe :)

Answer 1

$$x_{1,2}=\frac{4-2a}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4-2a}{2}\right)^2-1}$$$$x_{1,2}=2-a\pm\sqrt{\left(\frac{4-2a}{2}\right)^2-1}$$$$x_{1,2}=2-a\pm\sqrt{\left(\frac{2(2-a)}{2}\right)^2-1}$$$$x_{1,2}=2-a\pm\sqrt{\left(2-a\right)^2-1}$$ $$x_{1,2}=2-a\pm\sqrt{a^2-4a+3}$$

Comments

D.h. den y-Wert kann ich nicht herausfinden?

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Doch, das geht:$$f(2-a\pm\sqrt{a^2-4a+3})=2a\cdot (2-a\pm\sqrt{a^2-4a+3})$$ Einmal mit $+$ und einmal mit $-$ einsetzen, wenn es mehrere Schnittpunkte gibt!

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wie kommt man darauf?

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Wie kommst du denn normal auf einen $y$-Wert?

f(x)=x+2

g(x)=0.5x-2

x+2=0.5x-2  |-x

2=-0.5x-2   |+2

4=-0.5x    |:(-0.5)

x=-8

Nun kannst du den $x$-Wert in eine von den beiden Einsetzen (egal welche):

f(-8)=-8+2=6

Bei deinem Beispiel ist die Lösung für $x$:$$2-a\pm\sqrt{a^2-4a+3}$$ Also das in eine der beiden Funktion für jedes $x$ einsetzen!

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Stimmt, danke.

Das bedeutet, der Schnittpunkt wäre (2-a√a²-4a+3)|2a×2-a√a2-4a+3)? Oder kann man das noch weiter vereinfachen?

Answer 2

(4-2a)/2=2-a

x_1,2=(2-a)±√((2-a)²-1)=(2-a)±√(a²-4a+3)

Weiter geht's nicht.

Comments

Vielleicht sollte man noch die y-Koordinaten der Schnittpunkte angeben?

Angenommen die Frage war so gemeint. 

Answer 3

Ich möchte den Schnittpunkt folgender Funktionen bestimmen:

Was möchtest du damit sagen? Sollen Gerade und Parabel nur genau einen gemeinsamen Punkt haben? Das wäre dann eher ein Berührungs- als ein Schnittpunkt und man könnte den Parameter a bestimmen.

Comments

Ich weiß ja nicht, wie viele Schnittpunkte die Funktionen haben, das möchte ich herausfinden... Ich weiß nur, dass a>0 ist

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Ok. Dann schreibe:

Ich möchte die Schnittpunkte folgender Funktionen in Abhängigkeit von a bestimmen:

Wenn du den blauen Teil noch dazu schreibst, dann kannst du unterwegs noch eine Fallunterscheidung einpflegen.

Radikand > 0 ==> zwei Schnittpunkte

Radikand = 0 ==> nur ein Berührungspunkt. Die Gerade ist dann Tangente an die Parabel.

Radikand < 0 ==> kein Schnittpunkt

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Okay, danke. Kann ich das denn jetzt in Bezug auf diese Funktionen bestimmen? Weil ich habe ja keinen eindeutigen Radikanten, da a unbekannt ist

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Du hast a² - 4a + 3 = (a-1)(a-3)

überlege dir für welche a, dieser Term grösser oder kleiner als Null oder exakt 0 wird.

Dann hast du die "Anzahl gemeinsame Punkte in Abhängigkeit von a".

Und kannst die Rechnungen / Koordinaten deiner "Schnittpunkte" noch mit einem Definitionsbereich versehen. Ausserdem könntest du Tangenten an die Parabel angeben.

Mal angenommen, dass so etwas überhaupt auch mal noch gefragt wird.

EDIT: Habe meinen ersten Kommentar in eine Antwort umgewandelt, damit die Diskussion davon einigermassen zusammenbleibt.

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Stimmt das?

0 < a < 3 Tangente

0 < a ≥ 3 Sekante

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Nein.

Tangente heisst:  (a-1)(a-3) = 0 . Das geht nur für a_1 = 1 und a_2 = 3.

Falls 1 < a < 3 Passante. Grund: (a-1)(a-3) < 0

Falls 0 < a <1 oder a > 3 Sekante. Grund: (a-1)(a-3) > 0 

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Nutze auch hier den Plotter, um dir ein Bild von dem zu machen, was du hier tust.

Plotlux öffnen

f₁(x) = x²+4x+1f₂(x) = 2xf₃(x) = 2·3xf₄(x) = 2·0,5xf₅(x) = 2·0,25xf₆(x) = 2·0,125xf₇(x) = 2·5x

Übrigens:

g(x)=2ax, a>0

bedeutet, dass die Fälle a<0 aus dem Resultat entfernen musst. 

Also:

Tangente heisst:  (a-1)(a-3) = 0 . Das geht nur für a_1 = 1 und a_2 = 3.

Falls 1 < a < 3 Passante. Grund: (a-1)(a-3) < 0

Falls 0 < a <1 oder a > 3 Sekante. Grund: (a-1)(a-3) > 0