Nutzenfunktion eines Individuums mit ln(x)

Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)= 40*ln(x1) + 25*ln(x2). Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1=1,5 und p2= 2,5 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von l=300. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Konsummöglichkeiten. Wie hoch sind die Mengen x1 und x2 in diesem Nutzenoptimum?

Bezeichnung Lambda = Y

Ich bitte um Hilfe beim Lösen der Lagrangegleichung mit ln.

Meine Lagrangefunktion wäre: L= 1,5x1 + 2,5x2 - Y*(40 ln(x1) + 25 ln(x2) - 300)

dann ableiten und gleichsetzten... ist mir eigentlich klar, aber ich bräuchte einmal einen detaillierten Auflösungsweg mit ln.

Bitte um Hilfe, danke.

Answer 1

Du musst doch den Nutzen optimieren und 1,5x1+2,5x2=300 ist die Nebenbedingung.


Also   L(x1,x2,λ) = 40*ln(x1) + 25*ln(x2) +λ*(1,5x1+2,5x2-300)


Lx1 = 40/x1  +1,5λ


Lx2=25/x2 +2,5λ


Lλ=1,5x1+2,5x2-300


==>      40/x1  +1,5λ=0   und  25/x2 +2,5λ=0   und  1,5x1+2,5x2=300


==>            x1 =  -80/(3λ)   und  x2 =-10/ λ       und  1,5x1+2,5x2=300


1 und 2 bei 3 einsetzen:      1,5*( -80) /(3λ) +2,5* (-10)/λ =300     | *3λ


                                             -120 - 75                  =  900λ


                                                             λ = -13/60


==>   x1 = -80/ (-39/60) = 1600/13   ≈ 123,08    und  x2 = 600/13≈  46,15

Comments

Ach ja stimmt.. vielen Dank:)

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aber eines versteh ich jetzt trotzdem noch nicht ganz? wie kommst du von 40/x1 +1,5λ auf x1= -80/(3λ) bzw. von 25/x2 +2,5λ auf x2=10/λ??? sorry aber ich steh echt grad auf der leitung..

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 40/x1  +1,5λ=0   | -1,5λ

40/x1 = -1,5λ  = -3λ/2    | Kehrwerte

x1/40 = 2/-3λ           | * 40

x1 =  80 / (-3λ)  =  -80/(3λ)