Stetigkeit, Differenzierbarkeit, (un)beschränktheit, partielle Ableitungen

Question

ich habe zwei Funktionen f:ℝ²→ℝ gegeben und soll verschiedene Sachen zeigen. Ich hab leider insgesamt überhaupt keine Ahnung, wie das geht.

Erste Funktion:

$f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x_{1} x_{2}}{\sqrt{x_{l}^{2}+x_{2}^{2}}} \text { für }\left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 \text { für } x_{1}=x_{2}=0\end{array}\right.$

Hier soll ich zeigen:

a) f ist stetig

b) die partiellen Ableitungen ∂_x1f und ∂_x2f existieren auf ganz ℝ² und sind beschränkt

c) f in (0,0) nicht differenzierbar

Zweite Funktion:

$f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{c}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) \sin \frac{1}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} \text { für }\left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 \text { für } x_{1}=x_{2}=0\end{array}\right.$

Hier soll ich zeigen:

a) f ist auf ganz ℝ² differenzierbar

b) die partiellen Ableitungen ∂_x1f und ∂_x2f existieren auf ganz ℝ², aber sind in einer Umgebung von (0,0) unbeschränkt (und damit insbesondere nicht stetig in (0,0))

Kann mir bitte einer helfen und für (ein paar Aufgaben) die Lösungen geben und erklären?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erste Funktion: $f(x_{1}, x_{2})=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x_{1} x_{2}}{\sqrt{x_{l}^{2}+x_{2}^{2}}} & \text{für}\ (x_{1}, x_{2}) \neq(0,0) \\ 0 & \text{für}\ x_{1}=x_{2}=0\end{array}\right.$

a) Stetigkeit:

Um die Stetigkeit von $f$ im Ursprung zu überprüfen, verwenden wir Polarkoordinaten ($x_1 = r\cos(\theta), x_2 = r\sin(\theta)$). Wir können dies tun, weil sich jede Koordinate in $\mathbb{R}^2$ als Funktion des Radius $r$ (Abstand zum Ursprung) und des Winkels $\theta$ ausdrücken lässt. Somit erhalten wir $f(r\cos(\theta), r\sin(\theta)) = \frac{r\cos(\theta)r\sin(\theta)}{r} = \cos(\theta)\sin(\theta)$. Wir sehen, dass dieser Ausdruck von $r$ unabhängig ist, es sei denn $r=0$. Für $r \to 0$ (d.h., wenn wir uns dem Ursprung annähern), bleibt $f$ begrenzt und nähert sich ebenfalls 0, da $\frac{0}{0}$ im ursprünglichen Ausdruck spezifiziert zu 0 wird. Daher ist $f$ im Ursprung und damit auf ganz $\mathbb{R}^2$ stetig.

b) Partielle Ableitungen und Beschränktheit:

Die partiellen Ableitungen außerhalb des Ursprungs werden wie folgt berechnet:
$\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = \frac{x_{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) - x_{1}x_{2}(2x_{1}/2)}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{3/2}} = \frac{x_{2}^{3}}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{3/2}}$
$\frac{\partial f}{\partial x_{2}} = \frac{x_{1}^{3}}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{3/2}}$
Diese Ausdrücke sind auf ganz $\mathbb{R}^2$ ohne den Ursprung definiert. Im Ursprung müsste man die Definition der partiellen Ableitung direkt verwenden und Grenzwerte berechnen. Wegen der Symmetrie und der nullmultiplikativen Eigenschaft dieser Funktionen sind sie jedoch beschränkt, da die Werte im Nenner schneller wachsen als im Zähler.

c) Nicht Differenzierbarkeit in $(0,0)$:

Eine Funktion ist differenzierbar in einem Punkt, wenn alle partiellen Ableitungen in diesem Punkt existieren und stetig sind. Obwohl wir die partiellen Ableitungen im Ursprung theoretisch über die Definition der partiellen Ableitung finden könnten (und sie würden zu 0 führen), zeigt der nicht-lineare Charakter der Funktion und der abrupte Wechsel im Verhalten in $(0,0)$, dass die Ableitung in diese Richtung nicht die gleiche Form hat wie in jede andere Richtung. Ein direkter Nachweis würde erfordern, den Differenzenquotienten zu untersuchen und zu zeigen, dass er für verschiedene Anflugrichtungen an $(0,0)$ unterschiedliche Grenzwerte hat, was die Nicht-Differenzierbarkeit impliziert.

Zweite Funktion: $f(x_{1}, x_{2})=\left\{\begin{array}{cl}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \sin\left(\frac{1}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}\right) & \text{für}\ (x_{1}, x_{2}) \neq(0,0) \\ 0 & \text{für}\ x_{1}=x_{2}=0\end{array}\right.$

a) Differenzierbarkeit:

Um die Differenzierbarkeit zu zeigen, muss überprüft werden, ob die Ableitung in jeder möglichen Richtung existiert und kontinuierlich ist. Die Funktion $f$ ist überall außer im Ursprung differenzierbar, da sie dort aus Produkten und Verkettungen differenzierbarer Funktionen besteht. Im Ursprung selbst müssen wir die Definition der Differenzierbarkeit und die partiellen Ableitungen prüfen.

b) Partielle Ableitungen und Unbeschränktheit in einer Umgebung von (0,0):

Die partiellen Ableitungen werden ähnlich berechnet, führen aber auf eine komplexere Analyse, da Terme der Form $\cos\left(\frac{1}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}\right)$ durch die Kettenregel auftauchen. Diese Ableitungen werden nahe $(0,0)$ unbeschränkt, da der Cosinus-Term schnell oszilliert, während $x_{1}$ und $x_{2}$ gegen Null gehen. Das zeigt, dass die partiellen Ableitungen in der Umgebung des Ursprungs nicht beschränkt sind, was bedeutet, dass $f$ dort nicht stetig ist.