Uneigentliches Integral auf Konvergenz untersuchen: ∫0∞ ⁣sin(x)x dx\int_{0}^{\infty } \! \frac{sin(x)}{x} \, dx

Question

hier ist die Aufgabe:

$\int_{0}^{\infty } \! \frac{sin(x)}{x} \, dx$

Ich habe das majorantenkriterium angewendet.

$\frac{sin(x)}{x} <= 1/x -> \lim_{x \to \infty} < 1$ -> konvergent... ist das richtig so?

aber das sieht ja aus wie die harmonische reihe und da ich im nenner x¹ habe, müsste es divergieren... aber das konvergiert ja eindeutig...

mfg

Answer 1

siehe hier:

https://mathepedia.de/Konvergenzkriterien_Uneigentliche_Integrale.ht…

Comments

ok also soweit ich verstanden habe muss ich folgendes tun... da ichs ja nicht auswendig lernen kann habe ich mal folgendes versucht.

0 bis 1 zu erst und da kommt mit dem majorantenkriterium. 1/x raus und das ist konvergent da der exponent von x = 1 ist, da wir ja von 0 bis a integrieren, a = 1 hier...

1 bis unendlich:

sin(x)/x partiell integrieren... und am ende merkt man, dass das ergebnis < unendlich ist:

cos(1)/1 - $\int_{1}^{\infty } \! \frac{1}{x^2} \, dx$ -> das integral von 1 bis unendlich ist konvergent und cos(1) ist ja auch endlich... also folgt mit dem integralvergleichskriterium, dass das ganze konvergent ist, da der erste teil ja auch konvergent war.

so?

mfg

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