Primzahlen als Teiler einer Zahl der Form 10n-1

Question

Ich habe noch eine Frage...

Ich soll begründen warum jede Primzahl mit Ausnahme von 5 und 2, Teiler einer Zahl der Form 10n-1 ist und die Ziffernfolge nur aus 9ern besteht.

Verstehe nicht so ganz wie ich dies zeigen soll..

Comments

Ich nehme an, es könnte auch 10^n heißen?

Answer 1

Es geht vermutlich um Zahlen der Form 10ⁿ-1. Vermindert man eine Zahl mit der Ziffernfolge beginnend mit 1 und dann n Nullen um 1, entsteht eine Ziffernfolge aus n Neunen. Die Teilbarkeit durch jede Primzahl folgt aus dem kleinen Satz von Fermat

Answer 2

Ich demonstriere mal einen möglichen Gedankengang am Beispiel der Zahl 7:

$$7 = \dfrac{1}{0.\overline{142857}}\cdot\dfrac{\left(10^6-1\right)}{\left(10^6-1\right)} = \dfrac{\left(10^6-1\right)}{142857}\quad\vert\quad \cdot 142857 \\[30pt] 7\cdot 142857 = \left(10^6-1\right) = 999\:999$$Das funktioniert in ähnlicher Weise mit allen zu 10 teilerfremden Zahlen, also nicht nur für Primzahlen.

Comments

Stehe grade ein wenig auf dem Schlauch wie komme ich auf die Zahl unter dem Bruchstrich?

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Das ist die Dezimalbruchentwicklung des Kehrwertes von 7 mit Periodenstrich.