Gram Schmidt Orthonormalisierungsverfahren für v0=1, v1=X, v2=X^2

Question

Ich habe einen euklidischen R-Vektorraum durch die Menge (p ∈ ℝ(X): p= 0 oder Grad (p) ≤2) gegeben mit dem Skalarprodukt

s(Xⁱ, X^j)=2/(i+j+1) falls i+j+1 ungerade und s(Xⁱ, X^j) =0 falls i+j+1 gerade. Weiter ist die Basis durch v₀=1, v₁=X, v₂=X² gegben. Nun soll ich das Gram Schmidt verfahren anwenden.

Es ist s₀=1/2 und s₁=3^1/2/(2^1/2) x, was auch stimmt.

Allerdings komme ich jetzt nicht auf die richtige Lösung von s₂. Es ist doch

v*₂=v₂-s₀⟨s₀,v₂⟩-s₁⟨s₁,v₂⟩ und wenn ich das einsetzte fällt der hintere Teil weg, weil 1+2+1 gerade ist und ich erhalte v*₂=x²-1/3

Dann ist s₂=1/((2/5)^1/2)*(x²-1/3).

Ich soll aber s2=45^1/2/(2*2^1/2)X²-(42^1/2/(6*2^1/2) herausbekommen. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

und ich erhalte v*₂=x^2-1/3

Muss es nicht heißen : v*₂=x^2-1/6    ???

denn v*^2 =v^2-s₀⟨s₀,v₂⟩

                 X^2 - (1/2) * (1/3)

Comments

Wir studieren wohl an der gleichen Uni weil ich habe die Aufgabe auch auf meinem Übungsblatt. Also ich habe für v*2 auch x²-1/3 weil man  ⟨s0,v2⟩ doch durch 2/(0+2+1) laut Definition erhält oder? Dann kürzt sich die 2 weg

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Ach ja, stimmt. Ich habe die 2 übersehen.