Funktionsterm bestimmen..

Question

um folgendes Problem handelt es sich:

Der Graph G einer ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft durch den Punkt P(-1/3) und besitzt den Extrempunkt E(2/4). Dazu ist er achsensymmetrisch zur y-Achse.

Bestimmen Sie den Funktionsterm.

Mir ist klar, dass:

f(-1)=3 und f eine gerade Funktion ist.

Im voraus vielen Dank für eure Hilfe.

Gruß

Answer 1

eine ganzrationale Funktion 4. Grades, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist, hat allgemein diese Gestalt.

$$f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+c$$

Die 1.Ableitung davon ist einfach

$$f'(x)=4\cdot a \cdot x^3+2\cdot b \cdot x$$

Da diese Funktionsvorschrift drei Unbekannte hat, brauchst du auch drei Bedingungen, die hier auch gegeben sind.

1.) Punkt P(-1/3), also

$$f(-1)=3=a\cdot (-1)^4+b\cdot (-1)^2+c=a+b+c$$

2.) Punkt E(2/4), also

$$f(2)=4=a\cdot 2^4+b\cdot 2^2+c=16\cdot a+4\cdot b+c$$

3.) Punkt E ist außerdem ein Extrempunkt, also

$$f'(2)=0=4\cdot a \cdot 2^3+2\cdot b \cdot 2=32\cdot a+4\cdot b$$

Dieses 3x3 - LGS lösen und du hast deine ganzrationale Funktion 4.Grades.