s((1,0),(1,0))=1 und s((0,1),(0,1))=1 und s((2,0),(0,1))=1 Bedeutung

Question

Sei S das Skalarprodukt auf R² gegeben durch s((1,0),(1,0))=1 und s((0,1),(0,1))=1 und s((2,0),(0,1))=1. Betrachten Sie die Abbildungen fi: R2-->R2 mit f₁(1,0)=(1,2) und f₁(0,1)=(2,1). oder f₂=(1,0)=(2,2) und f₂(0,2)=(-1,2).

Nun soll ich entscheiden ob f₁ oder f₂ selbstadjungiert sind.

Kann mir jemand hier bitte weiterhelfen?

Meine erstes Problem liegt schon darin, dass ich mit s((1,0),(1,0))=1 und s((0,1),(0,1))=1 und s((2,0),(0,1))=1 nicht viel anfangen kann. Was bedeutet das und wie kann ich das umschreiben?

Und was hat das mit dem f1 und f2 zu tun?

Was selbstadjunigiert ist weiß ich schon, allerdings kann ich mit der Aufgabenstellung nicht viel anfangen, weil wir das so nicht in der Volesung hatten. Deshalb wäre es nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

Meine erstes Problem liegt schon darin, dass ich mit s((1,0),(1,0))=1 und s((0,1),(0,1))=1 und s((2,0),(0,1))=1 nicht viel anfangen kann. Was bedeutet das und wie kann ich das umschreiben?

Wenn das ein Skalarprodukt sein soll, muss es ja eine

positiv definite symmetrische Bilinearform sein.

wenn du also  wissen willst, was etwa s( (a,b),(c,d)) ist , kannst du das ja benutzen:

s( (a,b),(c,d)) = s( a*(1,0) + b(0,1) ,  c*(1,0) + d(0,1) ) und wegen der Bilinearität

          = ac* s( (1,0),(1,0))  + ad* s( (1,0),(0,1) + bc* s( (0,1),(1,0)) +  ad* s( (0,1),(0,1))

Das Gegebene einsetzen:

         = ac*  + ad* s( (1,0),(0,1) + bc* s( (0,1),(1,0)) +  ad

wegen der Symmetrie ist   s( (1,0),(0,1) = s( (0,1),(1,0)) = 0,5*s( (2,0),(0,1) ) = 0,5

also s( (a,b),(c,d))   = ac*  + 0,5ad  + 0,5bc +  ad .

Und die Abbildungen f1 und f2 sind (Das steht da zwar nicht) sicherlich lineare

Abbildungen, also sind sie durch die gemachten Angaben auch

eindeutig bestimmt. Dann kannst du ja alles ausrechnen und schauen,

ob sie selbstadjungiert sind.