Wachstumsgeschwindigkeit =1. Ableitung? Wie skizziere ich Wachstumsgraphen?

Question

Folgende Aufgabe:

Kohlenhydrate können durch Hefe zu Alkohol vergoren werden. In einer Flasche Weintraubensaft werden zu Beginn 500 Hefezellen eingebracht. Unter günstigen Bedingungen nimmt dir Anzahl der Hefezellen zu jedem Zeitpunkt um 80% pro Stunde zu.

a.) Geben sie einen Funktionsterm der Funktion f an, die diesen Wachstumsprozess beschreiben.

Das wäre doch $$ f(t)\quad =\quad 500\quad +\quad 500\quad \cdot \quad { 0,8 }^{ t } $$ oder?

So und die zweite Frage ist:

b) Bestimmen sie die Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit ach einer Stunde [nach 5 Stunden]? Skizzieren sie die Graphen der Wachstumsfunktion f und der Wachstumsgeschwindigkeit in einem gemeinsamen Koordinationsystem.

Für b) leite ich die Funktion einfach ab und setzte dann 1 bzw. 6 für t ein. Die Ableitung wäre demnach $$ f'(x)\quad =\quad 500t{ 0,8 }^{ t-1 } $$

Sind die beiden Funktionen richtig?

Wie skizziere ich diese funktionen ohne einen grafischen Taschenrechner?

Woran erkenne ich den Verlauf der Funktion? Worauf muss ich achten?

Answer 1

Hi,

alten Lösungsvorschlag verworfen. Hatte "abnehmen gelesen".

Es braucht \(f(t) = 500(1+0,8)^t = 500\cdot1,8^t\).

Probiere es, in dem Du für t=1 und t=2 rekursiv errechnest, was rauskommen muss und man kann dann obige Formel ableiten.

 

Ableitung:

\(f(t) = 500\cdot e^{t\cdot\ln(1,8)}\)

\(f'(t) = 500\cdot\ln(1,8)\cdot e^{t\cdot\ln(1,8)} = 500\cdot\ln(1,8)\cdot1,8^t\)

 

Wertetabelle machen, was letztlich führen sollte zu:

 

Grüße

Comments

oh ja.. x^0 = 1


Deswegen nimmt man 500*1,8^t.


Mist ich hatte das zuerst und habe mich dann umentschieden -_-


Also für eine Skizze berechne ich die Nullstellen und mach eine Wertetabelle und hol mir ggflls Hilfe vom graphischen Taschenrechner?

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Also wenn GTR erlaubt ist, würde ich den hier wohl benutzen.

Ansonsten einfach ein paar x-Werte nehmen und die y-Werte dazu ausrechnen. Meist reichen 2-3 Stück um den Kurvenverlauf abschätzen zu können.


Mit Nullstellen wirst Du Dir schwer tun. Du wirst keine finden^^. Beachte, das bei meinem Graphen die y-Achse ab 300 gestrichelt ist! ;)

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wieso benutzt man als Wachstumsrate 1,8^t und nicht ein Term mit e?


Wann benutzt man die Grundformel f(t)=a k^t und wann f(t) = a e^{kt}

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Das ist egal, das ist jeweils das gleiche:

a*b^t = a*e^{kt}

-> b = e^k


;)

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Tut mir leid für die blöde frage, aber ich bin das erste mal auf dieser seite:

Was bedeuten die Abkürzungen cdot und ähnliches was hier verwendet wird ?

Glg

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Sorry hat sich gerade erledigt :-D jetzt steht es da normal

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es handelt sich um LaTeX eingaben, die Dein Browser offenbar nicht richtig umsetzt. Bei Firefox gibt es ein addon dazu.

Falls Du mehr dazu wissen möchtest, öffne bitte eine eigene Frage, denn hier imThread gehört das nicht dazu.