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Folgende Aufgabe:

Sei A ∈ M(3 × 2, R). Zeigen Sie, dass die orthogonale Projektion P von R^3 auf

Bild (A) durch $$P = A(A^TA)^{−1}A^T$$ gegeben ist, sofern A^TA invertierbar ist.


Hat jemand vielleicht einen Ansatz für mich? Mir ist nicht ganz klar, wie ich P und A überhaupt in irgendeine Gleichheitsbeziehung bringe.

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Sei v aus Bild(A). Dann v=Ax für ein x aus R^2.

$$Pv=A (A^TA)^{-1}A^TAx= Ax=v. $$
Sei nun w aus orthogonalen Komplement von Bild(A), also <w,Ax>=<A^Tw,x>=0 für alle x. Daraus schließen wir A^Tw=0 (da <.,.> nicht ausgeartet).
$$Pw=A (A^TA)^{-1}A^T w =0$$

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