Integralrechnung Trigonometrische Funktionen. Fläche zwischen f(x) = 0,5 + sin(x) und g(x) = cos (x) ?

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.

Bestimmen Sie über dem Intervall von [0,2π] den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der Funktionen f(x) = 0,5 + sin(x) und g(x) = cos (x) umrandet wird?

An sich ist mir klar was ich glaube ich zu tun habe:

1. Schnittpunkte bestimmen

2. Integrieren von den Intervallgrenzen bis Schnittpunkte und die Beträge addieren zur Gesamtfläche.

Problem ist das Schnittpunkt bestimmen, ich komme auf kein vernünftiges Ergebnis beim Gleichsetzen der Gleichungen.

Ist der Ansatz soweit durchführbar? Danke für euer Hilfe!





Der Stümper

Answer 1

Hier fehlen ja immer noch Gleichheitszeichen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5+%2B+sin(x)+%3D+cos+(x)
Zeigt dir eine mögliche Rechenart.
0.5 + sin(x) = cos (x)              | cos(x) = ± √(1- sin^2(x))
0.5 + sin(x) = ± √(1- sin^2(x))      |^2
(0.5 + sin(x))^2 = 1 - sin^2(x)

0.25 + sin(x) + sin^2(x) = 1 - sin^2(x)

2 sin^2(x) + sin(x) - 3/4 = 0

u = sin(x)

2 u^2 + u - 3/4 = 0

Etwa so kommst du auf eine quadratische Gleichung für u = sin(x) .
Nun alle denkbaren Lösungen bestimmen.
Danach diejenigen Lösungen wieder streichen, die möglicherweise nur Scheinlösungen sind.

Comments

2. Integrieren von den Intervallgrenzen bis Schnittpunkte und die Beträge addieren zur Gesamtfläche.

Eher nicht.

Im fraglichen Gebiet gibt es nur ein "eingeschlossenes Flächenstück".

~plot~ 0.5 + sin(x) ; cos (x); x=0;x=2π ~plot~

Bestimme die beiden Schnittstellen a und b und integrieren nachher die Differenz der beiden Funktionen von a bis b.

Betrag davon nehmen, falls Zahl negativ. fertig.

Wenn du unbedingt willst, kannst du auch die beiden Teilstücke links und rechts von der eingeschlossenen Fläche dazunehmen oder einfach das Integral von b-2π bis a von der Differenz dazunehmen. (Die ganze Situation ist 2π-periodisch).