Extremstellen von Funktionenschar

Question

Die Funktion lautet so: f_a(x)= -ax^3+4ax

Ich habe schonaml versucht die ersten Ableitungen zu bilden weis aber nicht ob sie richtig sind

1 Ableitung: -a3x^2+4a

2 Ableitung: -a6x+4a

Fortfahrend muss ich die beweisen dass die Funktion genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt hat.

Ich bendank mich im voraus für eure Hilfe

Answer 1

fast richtig. Die zweite Ableitung muss so aussehen: $$ f''_a(x)=-6ax $$

Nun ist der Ansatz f'=0. Die Nullstellen, die du dann bekommst setzt du dann in f'' ein. Solange f''(x_0)≠0,d.h., f''(x_0)<0 Hochpunkt sowie f''(x_0)>0 Tiefpunkt. Am Ende nur noch die Stellen in f einsetzen. Fertig!

Answer 2

f_a'(x) = -3ax² + 4a = 0   →  x² = 4/3

  ergibt die potentiellen Extremstellen  x = ± √(4/3 )

mit f "(x) = -6ax   (!)

f "(√(4/3 ) ) < 0   →  H

f "(-√(4/3 ) ) > 0  →  T

Gruß Wolfgang