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Hallo liebe Community,

ich habe eine Frage bezüglich quadratischer Kongruenzen. Ich weiß einfach nicht, wie ich Lösungen für x finden kann. Ich weiß, wie ich mit dem Legendre-Symbol überprüfe, ob es eine Lösung gibt, aber dann fehlt mir das nötige Verfahren.

Vielleicht kann mir einer helfen und z.B. bei der Aufgabe x^2(kongruent) 34 mod 45 eine Musterlösung demonstrieren.


Vielen Dank

von

1 Antwort

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x^2    ≡  34 mod 45

Es ist 45 = 5*9 , also gilt für ein solches x jedenfalls

x^2    ≡  34 mod   5   und  x^2    ≡  34 mod 9

oder kürzer

x^2    ≡  4 mod   5   und  x^2    ≡  7 mod 9

Das erste ist nur für x    ≡  ± 2  mod   5   erfüllt

und  das zweite  für  x    ≡  ± 4   mod 9.

Denn von den  Resten   modulo 9  ist 7 bzw 16

eine Quadratzahl.

Und jetzt musst du nur die Reste mod 45 (und zwar nur die bis 22

denn für jedes x ist ja -x auch eine Lösung) untersuchen, ob welche

beide Bedingungen  x    ≡  ± 2  mod   5 (rot)    und    x    ≡  ± 4   mod 9 (blau)

erfüllen:

1  2  3   4  5   6   7   8   9  10 11   12  13   14   15   16   17  18   19  20  21  22 

13 und 22 erfüllen beides :  rot+blau = grün   , also sind die Lösungen der

Kongruenz   ±13  und ±22   mod 45.

von 196 k 🚀

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