L'Hospital oder einfache Regeln oder komplett falsch bei der Berechnung des Grenzwertes ?

Question

Ich habe hier die Gleichung : $$ \lim\limits_{x\to3}   \frac{x² - x - 6}{x² + 2x - 3} $$ So, laut den normalen Rechnenregeln des Grenzwertes müsste ich ja eigentlich nur die Koeffizienten des höchsten Nenner- und Zähler-Grades teilen, da dessen Potenz gleich hoch ist. Sprich in diesen Fall : $$ \frac{1}{1} = 1 $$ Dann habe ich mir aber noch den L'Hospital ausgerechnet, mit den Ableitungen : $$ \frac{2x - 1}{1} = /Dann/3/einsetzen/ =  \frac{6 - 1}{1} = 5 $$

Jetzt habe ich also einmal 1, einmal 5, und ich habe das starke Gefühl hier etwas versäumt zu haben. Ich weiß aber nicht was. Falls mir jemand helfen kann, wäre ich sehr dankbar :)

Answer 1

So, laut den normalen Rechnenregeln des Grenzwertes müsste ich ja eigentlich nur die Koeffizienten des höchsten Nenner- und Zähler-Grades teilen, da dessen Potenz gleich hoch ist

Das gänge für den Fall x-->±∞ . Hier strebt x aber gegen 3.

Im Nenner muss -2x stehen, sonst wäre 3 direkt einsetzbar.

Answer 2

Den Grenzwert kannst Du doch durch Einsetzen berechnen:

(9-3-6)/(9+6-3)= 0

L'Hospital geht doch nur bei 0/0 und ∞/∞. Dieser Fall liegt aber hier nicht vor.

Answer 3

Das ist doch ein einfacher Fall:  Für x gegen 3 geht der Zähler gegen 0

und der Nenner gegen 12.

Nach den Grenzwertsätzen ist also der Grenzwert des Bruches  0/12 = 0.