ich hänge an einer Integralaufgabe fest, Bruch richtig zusammenfassen

Question

$$\frac { { x }^{ k+1 }+{ 2x }^{ k } }{ { x }^{ k-1 }+{ 2x }^{ k-2 } }$$

Ich habe diesen Bruch falsch zusammengefasst.

Am Ende steht laut Lösung nur noch x^2 und dieses kann man dann einfach aufleiten. Leider komme ich nicht auf x^2.

$$\frac { { x }^{ k+1 } }{ { x }^{ k-1 } } +\frac { { 2x }^{ k } }{ { 2x }^{ k-2 } } =\frac { { x }^{ k }*{x}^{1} }{ { x }^{ k }*{ x }^{ -1 } } +\frac { { 2x }^{ k } }{ { 2x }^{ k }*{ 2x }^{ -2 } } =\frac { x }{ { x }^{ -1 } } +\frac { { 2x }^{ k } }{ { 2x }^{ k }*{ 2x }^{ -2 } } = \\ { x }^{ 2 }+\frac { 2x({1}^{k}) }{ { 1 }^{ k }*{ 1 }^{ -2 } } =({x}^{2})-1$$

Answer 1

Hi, bereits deine erste Umformung ist falsch. Man darf den Nenner nicht einfach auseinanderziehen. Richtig ist:

$$ \frac{x^{k+1} + 2x^k}{x^{k-1}+2x^{k-2}} \quad \cdot \frac{\frac{1}{x^{k-2}}}{\frac{1}{x^{k-2}}}$$

$$ = \frac{x^3 + 2x^2}{x+2} = \frac{x^2 (x+2)}{x+2} = x^2 \ .$$

Comments

kannst du mir das bitte genauer erläutern?

ich habe nicht genau verstanden, was du gemacht hast.

Hast du den Nenner hochgenommen mit (-1)? sodass dann da steht

Zähler * Nenner^{-1}?

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Ich habe deinen ursprünglichen Bruch mal 1 gerechnet, was ihn ja nicht weiter verändert. Diese 1 habe ich dann mit

$$ \frac{1}{x^{k-2}}$$

erweitert. Es gilt das Gesetz

$$\frac{1}{x^a} = x^{-a} \ .$$

Damit ergibt sich z.B. für den Zähler:

$$ (x^{k+1} + 2x^k) \cdot \frac{1}{x^{k-2}} = \frac{x^{k+1} }{x^{k-2}} + \frac{2x^k}{x^{k-2}} \ . $$

Jetzt das eben erwähnte Gesetz anwenden, also Nenner in den Zähler schreiben, aber mit umgekehrten Vorzeichen:

$$ = x^{k+1} \cdot x^{-k+2} + 2x^k \cdot x^{-k+2} \ . $$

Da die Basis gleich ist, können wir die Exponenten addieren und das ganze auf eine Basis reduzieren (x^a * x^b = x^a+b ):

$$ x^{k+1-k+2}+2x^{k-k+2} = x^3 + 2x^2 \ .$$

Für den Nenner analog. Falls daran immer noch etwas unklar ist, gerne Fragen.