Quadratische Ergänzung

Question

Könnte mir jemand bitte die Quadratische Ergänzung anhand eines Beispiels erklären ?

Answer 1

x^2 + p·x + q

= x^2 + p·x + (p/2)^2 - (p/2)^2 + q

= (x + p/2)^2 - p/2 + q

Man verwendet also die quadratische Ergänzung um ein Binom zu erzeugen, welches nur noch ein x enthält.

Answer 2

Wird oft bei quadratischen Gleichungen gemacht. Etwa:

x^2 + 2x -24 = 0

Damit man auf der linken Seite die binomische Formel anwenden kann,

müsste hinter den 2x nicht -24 sondern: Die Hälfte von 2 und das zum Quadrat stehen,

also 1. Das ergänzt man dann einfach

x^2 + 2x + 1aber jetzt ist es ja nicht mehr zur

alten Gleichung äquivalent, deshalb wird die 1 wieder subtrahiert und es gibt

x^2 + 2x +1 -1  -24 = 0

Jetzt hat man eine äquivalente Gleichung.

Die letzten beiden Zahlen zusammenfassen gibt

x^2 + 2x +1  -25  = 0

Die ersten drei bilden eine binomische Formel, also

( x + 1 ) ^2  - 25 = 0

Dann kann die -25 auf die andere Seite

(x+1)^2 = 25  und jetzt das Quadrat wegmachen gibt

x+1=5    oder    x+1 = -5

 x = 4   oder    x = -6