Bestimme die Menge aller x ε ℝ für die Ungleichung: (x^2-1)/(x^2+1) < 1/x -1

Question

Bestimme die Menge aller \(x\in \mathbb R\):

$$\frac { { x }^{ 2 }-1 }{ { x }^{ 2 }+1 } \quad <\quad \frac { 1 }{ x } -1$$

Answer 1

(x^2 - 1)/(x^2 + 1) < 1/x - 1
x^2 - 1 < 1/x·(x^2 + 1) - 1·(x^2 + 1)
x^2 - 1 < - x^2 + x + 1/x - 1
2·x^2 - x - 1/x < 0

Für x > 0

2·x^3 - x^2 - 1 < 0
x < 1

Für x < 0

2·x^3 - x^2 - 1 > 0
x > 1

Die Lösung ist also 0 < x < 1