Ungleichung mit Epsilon>0

Question

ich würde mich freuen, wenn jemand über meine nachfolgende Ungleichung einmal schauen könnte :)

Es seien a,b ∈ ℝ. Zeigen Sie: Für jedes ϵ > 0 gilt die folgende Ungleichung:

(a+b)² ≤ (1+ϵ²)a²+(1+1/ϵ²)b²

a² +2ab+b² ≤ a² +a² ε² +b² +b² +(b² / ε² )

0 ≤ a² ε² -2ab + (b² /ε² )

0 ≤ (εa - b/ε  )²

Gilt für alle a,b ∈ ℝ und für jedes ε>0

Answer 1

Vielleicht solltest du dazu schreiben, dass du

die Ungleichung äquivalent umformst und

so auf eine gültige Ungleichung kommst.

Also ist die gegebene Ungleichung bewiesen.

Comments

Danke für Deine Antwort.

Wenn ich dazu jetzt noch die verwendeten Axiome der reellen Zahlen zu den Umformungen schreiben soll, wie sieht das aus? Könntest du mir für die ersten beiden Zeilen helfen? Dann versuche ich den Rest selbst.

Mit den Axiomen weiß ich nicht, was ich bei solch "leichten" Umformungen schreiben soll...

Danke :)

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Der erste Schritt (Klammern auflösen) beruht auf einer

mehrfachen Anwendung von Distributiv- ,

Assoziativ- und Kommutativgesetz. Alleine schon die

benutzte binomische Formel kommt ja bei den

Axiomen nicht vor sondern müsste dann ja schrittweise

entwickelt werden

(a+b)^2 =    [ Def. von hoch 2 ]

(a+b)*(a+b)=  [Distributiv]

(a+b)*a  + (a+b)*b =   [ 2 x Distributiv]

(a*a+b*a) + (a*b+b*b)=  [assoziativ bei +]

((a*a+b*a) + a*b)+b*b= [assoziativ bei +]

(a*a+(b*a + a*b))+b*b= [kommutativ bei *]

(a*a+(a*b + a*b))+b*b= [distributiv]

(a*a+(1+1)*a*b)+b*b=

etc..... Das wird dann recht langatmig.

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Hallo mathef,

vielen Dank für Deine Antwort. Du hast mir sehr geholfen. Dann weiß ich jetzt weiter, wie ich das schreiben muss. Langatmig ist dabei dann ja fast untertrieben ;)

Liebe Grüße und schönes Wochenende!