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f1 : Z → Z : x 7→ 2x
f2 : Z → Z : x 7→ −x
f3 : Z → Z : x 7→ x²
f4 : Z>0 → Z : x 7→ x²
f5 : Z>0 → Z>0 : x 7→ x²
f6 : {−1, 0, 1} → {0, 1} : x → x²
f7 : {1, 2, 3} → {a, b, c} : x → x²
b, x = 1
c, x = 2
a, x = 3


Geben Sie bei allen bijektiven Abbildungen die inverse Abbildung an

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Vom Duplikat:

Titel: Überprüfen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Stichworte: injektiv,surjektiv,bijektiv

f1 : Z → Z : x²→ 2x
f2 : Z → Z : x²→ −x
f3 : Z → Z : x²→ x²
f4 : Z>0 → Z : x²→ x²
f5 : Z>0 → Z>0 : x²→ x²
f6 : {−1, 0, 1} → {0, 1} : x → x²
f7 : {1, 2, 3} → {a, b, c} : x → x²
b, x = 1
c, x = 2
a, x = 3

EDIT: Achtung: Darstellung in Duplikat nicht gleich. Versionen enthalten Fehler!

1 Antwort

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f1 : Z → Z : x 7→ 2x
 interpretiere ich mal so:

$$f1: ℤ \longrightarrow ℤ:  x \longmapsto 2x$$

Das bedeutet: f1 ist die Funktion von der

Menge der ganzen Zahlen in die Menge der ganzen Zahlen,

die jedem x den Wert 2x zuordnet.

injektiv bedeutet:

zwei verschiedenen x-Werten werden auch verschiedene Werte zugeordnet

oder (Das ist logisch gleichwertig) wenn die zugeordneten Werte gleich sind,

dann sind die x-Werte auch gleich.

Hier hieße das: Du stellst dir zwei x-Werte vor , sagen wir a und b , und

nimmst an, die zugeordneten Werte sind gleich, hier also

                       2a = 2b        Das kannst du durch 2 teilen und hast

                         a=b, also : Die x-Werte sind auch gleich.

Damit weißt du:   f1 ist Injektiv

surjektiv bedeutet: Jedes Element der 2. Menge ( hier also ℤ ) kommt

als zugeordneter Wert vor.

Wenn du ein wenig probierst, merkst du, dass immer nur gerade Zahlen

als zugeordnete Werte herauskommen. Also kommt z.B.  3

nicht als Funktionswert vor, d.h.

f1 ist nicht surjektiv.

Entsprechend machst du es bei den anderen:

Kurzform etwa für f2:

Injektiv ja, da aus     -a = -b auch  a=b folgt.

surjektiv auch, denn  jedes y ∈ℤ kommt als Funktionswert

vor, man nimmt einfach x= -y , dann ist der

Funktionswert von x ja  -(-y) = y.

Also ist f2 bijektiv und die inverse Abbildung ist f2 selbst.

etc...….……….

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