Wahrscheinlichkeitsrechnung

Question

Eine Münze wird dreimal geworfen. Ereignis E: Beim ersten Wurf fällt Kopf. Ereignis F: Insgesamt fällt mind. zweimal Zahl. 

Aufgabe: Der Einsatz beträgt 1€. Wenn dreimal Kopf erscheint, bekommt man 4€ ausbezahlt. Wenn zweimal Kopf erscheint, bekommt man 1€ ausbezahlt. Ansonsten bekommt man nichts ausgezahlt. 
Berechne den Erwartungswert ,,Gewinn in €’’. Wie kann man den Erwartungswert interpretieren? Wie muss man die Auszahlung bei dreimal Kopf ändern, damit das Spiel fair wird?  

Hallo bräuchte hierbei Hilfe.. Soweit ist ja die Wahrscheinlichkeit von beiden Münzseiten 1/2. Nun habe ich den Erwartungswert errechnet: 4*0,5+1*0,5= 2,50€. Nun weiß ich nicht wie ich diese 2,50 euro interpretieren soll und dann bei der nachfolgende Frage blicke ich auch nicht durch. Bitte Hilfe!  

Answer 1

Überprüfe deinen Erwartungswert.

Die Wahrscheinlichkeit für dreimal Kopf ist z.B. nicht 0,5, sondern 1/8.

Mache dir ein Baumdiagramm.

Comments

4*1/8+1*1/8= 0,625 also kann man anhand dieses Ergebnisses, dass man weniger als das vom Einsatz bekommt nämlich 62,5 cent?

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Die Wahrscheinlichkeit für zweimal Kopf ist nicht die gleiche wie für dreimal Kopf.

Den Hinweis mit dem Baumdiagramm hast du sicher ignoriert.

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4*1/8+1*3/8= 0,875.. Also gibt es einen geringeren Verlust habe ich recht? Wie muss die Auszahlung bei 3x Kop geändert werden, damit das Spiel fair wird?

Meine Vermutung wäre, dass man die 4 Euro Auszahlung auf 6 euro erhöht somit erhält man 1,12 euro. Richtig?

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Bei einem Gewinn von 1,12 € wäre das Spiel in die andere Richtung unfair.

Fair ist es nur, wenn der Erwartungswert des Gewinns so groß ist wie der Einsatz.

Nennen wir den gesuchten Gewinn bei dreimal Kopf "x".

Es muss also x*(1/8) + 1 * (3/8) = 1 gelten.

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Fair ist es nur, wenn der Erwartungswert des Gewinns so groß ist wie der Einsatz.

Gewinn = Auszahlung - Einsatz

Das Spiel ist fair, wenn der der Erwartungswert des Gewinns = 0 ist.

Answer 2

p(KKK) = (1/2)^3 =1/8

p(2-mal K) = 1/8 * (3über2)= 3/8

E =1/8 *4 +3/8*1 +4/8*(-1) = 3/8 = 0,375

Comments

Was meinen Sie mit 3 über 2

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Das ist ein Binomialkoeffizient.

Aber den Kommentar kannst du ignorieren, weil er fachlich falsch ist.

Bei Aufgaben dieses Typs (faires Spiel) gibt es zwei grundsätzliche Herangehensweisen.

a) Man rechnet den Einsatz von vorn herein mit ein. Bei dreimal Kopf hat man demzufolge hier nur 3 Euro Gewinn (4 Euro abzüglich ein Euro Einsatz), bei zweimal Kopf 0 Euro Gewinn (1 Euro minus 1 Euro Einsatz), bei allen anderen Ergebnissen 1 Euro Verlust (bzw. "Gewinn" von -1 Euro). Für ein faires Spiel muss der Erwartungswert des so berechneten Gewinns plus/minus Null sein.

b) Man rechnet den Einsatz nicht von Gewinn ab. Der Erwartungswert des Gewinns muss dann bei einem fairen Spiel nicht 0 sein, sondern so groß wie der Einsatz.

Der letzte Kommentator hat beide Methoden unzulässigerweise vermischt, denn bei "dreimal Kopf" wurde der Gewinn bei 4€ belassen, während in den zwei anderen Fällen der Einsatz vom Gewinn abgezogen wurde.

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Stimmt. Danke für die Richtigstellung. :)