Es gibt keine ganze Zahl, die die Funktion x^2 + (2y)^2 + 4z + 1 = 0 erfüllt?

Question

Bei meiner Aufgabe soll bewiesen werden, dass es keine ganzen Zahlen x,y,z geben kann für die die Gleichung

x² + (2y)² + 4z +1 = 0 stimmt.

Mein Ansatz war bis jetzt, dass ich die Gleichung nach z umforme. Somit erhalte ich:

z = -1/4 (x² + 4y² + 1)

Es würde ja genügen, wenn der Ausdruck in der Klammer ungerade oder kein Vielfaches der 4 ist, da ja sonst durch die -1/4 vor der Klammer ein Bruch entstehen würde.

Aber wie ich jetzt den nächsten Schritt beweise ist mir fraglich, aber vielleicht bin ich auch auf einem falschem Weg.

Ich bin für eine Lösung oder auch gerne Tipps sehr dankbar.

Answer 1

(2y)² + 4z ist in jedem Fall durch 4 teilbar.

Wenn in der Gesamtgleichung 0 rauskommen sollte, müsste auch x²+1 durch 4 teilbar sein.

Ist das möglich?

Comments

Mir ist gerade eine andere Möglichkeit eingefallen. Wie wäre es, wenn ich x und y mit 4n ersetze, da die beiden Zahlen ja ein Vielfaches von 4 sein müssen. Nach ein bisschen Auflösen kommt dann 80n²  + 1 raus was durch das +1 natürlich nicht durch 4 teilbar sein wird.

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"da die beiden Zahlen ja ein Vielfaches von 4 sein müssen"

Wie kommst du zu dieser abenteuerlichen Annahme?

Laut Aufgabenstellung sind x. y und z einfach nur ganze Zahlen ohne nähere Spezifizierung.

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Durch den Vorfaktor -1/4 hätte ich gedacht. Aber wie gesagt ich habe keine konkrete Lösung Es kann gut sein, dass es keinen Sinn macht was ich "meine" :D